ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 590: Метод координат в пространстве

План решения.

По условию задачи векторы a+2b и a-3b коллинеарны. Это означает, что один из них можно выразить через другой с помощью некоторого числового коэффициента k. Нам нужно доказать, что исходные векторы a и b также коллинеарны, то есть один из них является скалярным кратным другого (a=mb или b=na).

Вычисление.

Запишем условие коллинеарности данных векторов:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем все слагаемые с вектором a в левую часть, а с вектором b — в правую (или наоборот, чтобы выразить связь). Сгруппируем подобные члены:

Рассмотрим два случая для коэффициента k:

1. Если 1-k≠0, то мы можем разделить обе части на (1-k): a=-(3k+2)/1-kb Обозначив дробь как константу m, получаем a=mb, что по определению означает коллинеарность векторов a и b.
2. Если 1-k=0, то k=1. Подставим это значение в исходное равенство (1-k)a=-(3k+2)b: 0·a=-(3·1+2)b 0=-5b Отсюда следует, что b=0. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, следовательно, a и b коллинеарны.

Проверка и вывод.

В обоих возможных случаях (когда коэффициент при a не равен нулю и когда он равен нулю) мы пришли к выводу, что векторы a и b связаны линейной зависимостью, выражающейся в их коллинеарности. Таким образом, утверждение доказано.