ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 589: Метод координат в пространстве

План решения.

По условию задачи векторы a+b и a-b коллинеарны. Это означает, что один из них можно выразить через другой с помощью некоторого числового коэффициента. Нам нужно доказать, что исходные векторы a и b также лежат на одной прямой или параллельных прямых, то есть являются коллинеарными. Рассмотрим два случая: когда хотя бы один из векторов нулевой, и когда оба ненулевые.

Вычисление и доказательства.

1. Если хотя бы один из векторов a или b равен нулю, например a=0, то вектор b коллинеарен любому вектору (по определению), а значит, утверждение верно тривиально. Аналогично для b=0.

2. Пусть теперь a≠0 и b≠0. Так как векторы a+b и a-b коллинеарны, существует такое число k, что:

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы выразить связь между a и b:

Здесь возможны два подслучая:

• Если k=1, то левая часть равна 0, а правая — 2b. Тогда 2b=0⇒b=0, что противоречит предположению о ненулевом b. Значит, случай k=1 невозможен при ненулевых векторах.
• Если k=-1, то правая часть равна 0, а левая — 2a. Тогда 2a=0⇒a=0, что также противоречит предположению. Значит, случай k=-1 невозможен.

Следовательно, если a и b ненулевые, то k≠1 и k≠-1. В этом случае мы можем выразить a через b:

Обозначим коэффициент λ=1+k/1-k. Получаем a=λb. По определению коллинеарности, это означает, что векторы a и b коллинеарны.

Проверка.

Действительно, если a и b коллинеарны, то их сумма и разность также будут коллинеарны (так как они лежат на той же прямой). Обратное утверждение мы доказали алгебраически, показав, что условие коллинеарности суммы и разности приводит к линейной зависимости самих векторов a и b, за исключением вырожденных случаев с нулевыми векторами, которые также удовлетворяют условию коллинеарности. Логика верна.