ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 595: Векторы в пространстве

План решения.

Для нахождения вектора, равного сумме нескольких векторов, соединённых последовательно (конец предыдущего совпадает с началом следующего), можно воспользоваться правилом многоугольника. Сумма таких векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом первого слагаемого, а конец — с концом последнего слагаемого. Если цепочка не замкнута напрямую, используем свойства параллелепипеда: противоположные рёбра равны и параллельны, поэтому соответствующие им векторы равны (AB=DC=A₁B₁=D₁C₁ и т.д.).

Вычисление по пунктам.

• а) AB+AD+AA₁. Заметим, что в параллелепипеде AD=BC. Тогда сумма превращается в цепочку: AB+BC+CC₁ (так как AA₁=CC₁). По правилу треугольника AB+BC=AC, затем AC+CC₁=AC₁. Искомый вектор: AC₁ .
• б) DA+DC+DD₁. Это классическая разложение диагонали, выходящей из вершины D. Вектор DA ведёт к A, DC параллелен AB, но удобнее рассмотреть путь: DA+AB=DB? Нет, здесь проще использовать свойство параллелограмма для основания или просто перестановку. Рассмотрим цепочку: начнём с D. DA приводит в A. Из A нужно попасть в точку, соответствующую DC. Так как DC=AB, то следующий шаг AB приведёт в B. Затем BB₁=DD₁ приведёт в B₁. Таким образом, путь D→A→B→B₁ даёт вектор DB₁. Проверим иначе: DA+DC=DB (диагональ основания ABCD, если считать от D? Нет, DA+DC это диагональ параллелограмма ABCD, исходящая из D, то есть DB). Тогда DB+DD₁=DB₁. Искомый вектор: DB₁ .
• в) A₁B₁+C₁B₁+BB₁. Здесь порядок сложения важен. C₁B₁ можно заменить на равный ему CB или D₁A₁. Давайте соберём цепочку. Начальная точка первого вектора A₁B₁ — это A₁. Конец — B₁. Следующий вектор C₁B₁ имеет конец B₁, но начало C₁. Чтобы применить правило «хвост-нос», перевернём его: C₁B₁=-B₁C₁. Или найдём равный вектор с началом в B₁: C₁B₁=BA? Нет, C₁B₁ направлен от C₁ к B₁. Вектор, начинающийся в B₁ и равный C₁B₁, это B₁A₁? Нет, B₁A₁ противоположен A₁B₁. C₁B₁=D₁A₁=CB=DA. Попробуем другой путь. A₁B₁+BB₁? Нет, третий вектор BB₁ начинается в B. Перепишем сумму: (A₁B₁+B₁C₁)+…? У нас C₁B₁. Значит, A₁B₁+C₁B₁=A₁B₁-B₁C₁. Это сложно. Лучше через координаты или замену. C₁B₁=D₁A₁. Тогда A₁B₁+D₁A₁=D₁A₁+A₁B₁=D₁B₁. Теперь прибавляем третий вектор BB₁. Получаем D₁B₁+BB₁. Заменим BB₁ на равный D₁D. Тогда D₁B₁+D₁D? Нет, нужно чтобы конец первого совпал с началом второго. D₁B₁ заканчивается в B₁. Вектор BB₁ начинается в B. Не стыкуется. Заменим BB₁ на D₁D? Нет, направление вверх. BB₁=DD₁? Нет, BB₁ идёт снизу вверх. D₁D идёт сверху вниз. BB₁=AA₁=CC₁=DD₁. Верно. Итак, у нас есть D₁B₁. Нам нужно прибавить вектор, начинающийся в B₁. Какой вектор равен BB₁ и начинается в B₁? Такого нет среди ребер, идущих из B₁ вверх (это уже вне фигуры) или вниз (B₁B). Но мы можем переставить слагаемые. Сумма векторов коммутативна. BB₁+A₁B₁+C₁B₁. BB₁+B₁A₁? Нет, у нас A₁B₁. A₁B₁=-B₁A₁. Давай так: A₁B₁+C₁B₁+BB₁. Заменим C₁B₁ на CB. Заменим A₁B₁ на AB. Сумма: AB+CB+BB₁. AB+BB₁=AB₁. Осталось AB₁+CB. CB=DA. AB₁+DA=DA+AB₁. Заменим AB₁ на DC₁. DA+DC₁. Это сумма двух векторов, исходящих из одной точки D. Она равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. Вектор DA и DC₁. DC₁=DC+CC₁. Тогда DA+DC+CC₁=DB+CC₁=DB+BB₁=DB₁. Искомый вектор: DB₁ .
• г) A₁A+A₁D₁+AB. Сначала первые два: A₁A+A₁D₁. Вынесем общий множитель? Нет, правило параллелограмма для векторов из одной точки A₁: их сумма равна диагонали A₁C? Нет, A₁A и A₁D₁ лежат в грани ADD₁A₁. Их сумма равна вектору A₁M, где M середина AD? Нет. A₁A+A₁D₁=A₁A+AD? Нет, A₁D₁=AD. Тогда A₁A+AD=A₁D. Теперь прибавляем третий вектор AB. Получаем A₁D+AB. Заменим AB на равный ему D₁C? Или DC? AB=DC. Тогда A₁D+DC=A₁C. Искомый вектор: A₁C .
• д) B₁A₁+BB₁+BC. Переставим слагаемые для удобства: BB₁+B₁A₁+BC. Первые два складываются по правилу треугольника: BB₁+B₁A₁=BA₁. Теперь прибавляем BC. Получаем BA₁+BC. Заменим BC на равный ему AD? Или A₁D₁? BC=A₁D₁. Тогда BA₁+A₁D₁=BD₁. Искомый вектор: BD₁ .

Проверка.

Все полученные векторы являются диагоналями параллелепипеда или граней, соединяющими вершины. а) AC₁ — главная диагональ из A. б) DB₁ — главная диагональ из D. в) DB₁ — та же главная диагональ, что и в пункте б, так как набор векторов эквивалентен. г) A₁C — главная диагональ из A₁. д) BD₁ — главная диагональ из B. Логика построения цепочек вершин подтверждает правильность результатов.