ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 609: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства используем метод векторов. Введем базис из трех некомпланарных векторов, исходящих из одной вершины параллелепипеда. Выразим через этот базис вектор диагонали и векторы, определяющие точки пересечения медиан (центроиды) указанных треугольников. Затем покажем, что эти центроиды лежат на диагонали и делят её в отношении 1:2 и 2:1, то есть разбивают диагональ на три равные части.

Вычисление.

Пусть дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Примем за начало координат точку A. Обозначим векторы ребер, выходящих из этой вершины, как: AB=a, AD=b, AA₁=c. Тогда вектор пространственной диагонали AC₁ равен сумме этих векторов: AC₁=a+b+c. Рассмотрим треугольник A₁BD. Его вершины задаются радиус-векторами относительно точки A: AA₁=c, AB=a, AD=b. Точка пересечения медиан (центроид) этого треугольника обозначим M₁. Радиус-вектор центроида равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин: AM₁=AA₁+AB+AD/3=c+a+b/3=1/3(a+b+c). Сравнивая это с выражением для диагонали, получаем: AM₁=1/3AC₁. Это означает, что точка M₁ лежит на отрезке AC₁ и удаляет его от начала A на одну треть длины диагонали. Теперь рассмотрим треугольник CB₁D₁. Найдем радиус-векторы его вершин относительно точки A: AC=AB+BC=a+b (так как BC=AD=b), AB₁=AB+BB₁=a+c (так как BB₁=AA₁=c), AD₁=AD+DD₁=b+c (так как DD₁=AA₁=c). Обозначим центроид этого треугольника через M₂. Его радиус-вектор: AM₂=AC+AB₁+AD₁/3=(a+b)+(a+c)+(b+c)/3=2a+2b+2c/3=2/3(a+b+c). Отсюда следует: AM₂=2/3AC₁. Значит, точка M₂ также лежит на диагонали AC₁ и находится на расстоянии двух третей её длины от точки A.

Проверка и вывод.

Мы установили, что точки M₁ и M₂ лежат на прямой, содержащей диагональ AC₁. Расстояния от начала диагонали до этих точек составляют 1/3|AC₁| и 2/3|AC₁| соответственно. Длина отрезка AM₁ равна 1/3d, где d — длина диагонали. Длина отрезка M₁M₂ равна |AM₂-AM₁|=|2/3AC₁-1/3AC₁|=1/3|AC₁|=1/3d. Длина отрезка M₂C₁ равна |AC₁-AM₂|=|AC₁-2/3AC₁|=1/3|AC₁|=1/3d. Таким образом, AM₁=M₁M₂=M₂C₁=1/3AC₁. Диагональ проходит через точки пересечения медиан данных треугольников и делится ими на три равных отрезка. Что и требовалось доказать.