ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 579: Сумма нескольких векторов

План решения.

Для доказательства равенства двух сумм векторов воспользуемся методом проекций или разложением по базису. Однако наиболее наглядным для правильной пирамиды является использование свойства симметрии и векторного сложения. Обозначим вершину пирамиды как P, а основание — правильный шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆ с центром O. Нам нужно сравнить две суммы:

1. S₁=∑6i=1PA_i (сумма боковых рёбер).
2. S₂=∑6i=1PM_i, где M_i — середины сторон основания (концы апофем).

Заметим, что в правильном шестиугольнике сумма векторов из центра к вершинам равна нулю: ∑6i=1OA_i=0. Аналогично, сумма векторов из центра к серединам сторон также равна нулю: ∑6i=1OM_i=0, так как точки M_i также образуют правильный шестиугольник (повёрнутый на 30^°).

Вычисление и доказательство.

Разложим каждый вектор бокового ребра через вектор высоты пирамиды и радиус-векторы основания. По правилу треугольника:

Тогда сумма всех боковых рёбер:

Так как вектор PO один и тот же для всех слагаемых, то ∑6i=1PO=6PO. А сумма радиус-векторов к вершинам правильного шестиугольника равна нулевому вектору (0). Следовательно:

Теперь рассмотрим сумму векторов апофем. Апофема — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды P с серединой стороны основания M_i. Разложим вектор PM_i аналогично:

Сумма всех векторов апофем:

Опять же, ∑6i=1PO=6PO. Сумма векторов OM_i равна нулю, так как концы этих векторов являются вершинами правильного шестиугольника (середины сторон исходного шестиугольника), образованного вокруг центра O. В силу симметрии правильного многоугольника сумма векторов из центра ко всем его вершинам равна нулю. Следовательно:

Проверка и вывод.

Мы получили, что S₁=6PO и S₂=6PO. Таким образом, S₁=S₂.

Это доказывает утверждение задачи. Логика опирается на фундаментальное свойство правильного многоугольника: векторная сумма радиусов, проведённых из центра к вершинам (или к серединам сторон), равна нулю. Поскольку обе группы векторов (рёбра и апофемы) отличаются только горизонтальной составляющей, которая в сумме даёт ноль, их полные векторные суммы определяются исключительно вертикальной составляющей (высотой пирамиды), умноженной на количество таких векторов (6).