ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 575: Сумма нескольких векторов
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дан параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1. Докажите, что OA+OC1=OC+OA1, где O — произвольная точка пространства.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства векторных сумм воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника) для вычитания и сложения векторов. Нам нужно преобразовать левую часть равенства OA+OC1 так, чтобы она стала равна правой части OC+OA1. Ключевая идея состоит в том, что разность двух векторов, исходящих из одной точки, равна вектору, соединяющему концы этих векторов. То есть XY=OY-OX.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим левую часть равенства: OA+OC1. Добавим и вычтем один и тот же вектор, например, OC, чтобы сгруппировать слагаемые удобным образом:
OA+OC1=OA+(OC+CC1) Здесь мы использовали правило треугольника: OC1=OC+CC1. Перегруппируем слагаемые:OA+OC+CC1 Теперь посмотрим на правую часть исходного равенства: OC+OA1. Разложим вектор OA1 по правилу треугольника через точку A:OA1=OA+AA1 Подставим это выражение в правую часть:OC+OA1=OC+(OA+AA1)=OC+OA+AA1Сравним полученные выражения для левой и правой частей:
- Левая часть: OA+OC+CC1
- Правая часть: OA+OC+AA1
В параллелепипеде боковые ребра равны и параллельны, причём направлены одинаково. Следовательно, векторы AA1 и CC1 равны:
AA1=CC1 Так как первые два слагаемых (OA и OC) совпадают, а третьи слагаемые равны между собой, то и суммы векторов равны:OA+OC1=OC+OA1 Что и требовалось доказать.Проверка.
Можно проверить результат другим способом, используя свойство диагоналей параллелепипеда. Пусть M — середина отрезка AC1, а N — середина отрезка CA1. В параллелепипеде отрезки AC1 и CA1 являются диагоналями граней или пространственными диагоналями? Нет, AC1 — пространственная диагональ, а CA1 тоже пространственная диагональ. Все пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Значит, середины отрезков AC1 и CA1 совпадают (это центр симметрии параллелепипеда). По определению суммы векторов, если M — середина AC1, то OA+OC1=2OM. Если N — середина CA1, то OC+OA1=2ON. Так как M и N — одна и та же точка (центр параллелепипеда), то OM=ON, следовательно, 2OM=2ON, и равенство верно.
Доказано
Использовано разложение векторов по правилу треугольника и свойство равенства параллельных и равных векторов AA1 и CC1 в параллелепипеде.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 575 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 575?
Краткий ответ: Доказано.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Сумма нескольких векторов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.