ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 571: Сумма нескольких векторов

План решения. Для доказательства равенств модулей векторных сумм и разностей в прямоугольном параллелепипеде KLMNK₁L₁M₁N₁ воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов. Заметим, что для любых двух перпендикулярных векторов a и b выполняется тождество |a+b|=|a-b|, так как оба выражения равны длине диагонали прямоугольника со сторонами |\bar{a}| и |\bar{b}|. В каждом пункте мы преобразуем левую и правую части к одному и тому же геометрическому объекту (диагонали грани или пространственной диагонали). Вычисление и доказательство по пунктам: а) Рассмотрим векторы MK и MM₁. Они лежат в плоскости боковой грани KMM₁K₁ и перпендикулярны друг другу (MKbotMM₁), так как это стороны прямоугольника. Сумма MK+MM₁ по правилу треугольника равна вектору M₁K (или KM₁ с учетом направления, но нас интересует модуль). Разность MK-MM₁=MK+M₁M. По правилу треугольника MK+M₁M=M₁K. Таким образом, обе суммы представляют собой один и тот же вектор M₁K (диагональ грани KMM₁K₁). Следовательно, их модули равны: |MK+MM₁|=|M₁K| и |MK-MM₁|=|M₁K|. Равенство доказано. б) Преобразуем левую часть: K₁L₁-NL₁. Так как K₁L₁=KL (противоположные ребра параллельны и равны) и NL₁=NL₁, то удобнее использовать свойство вычитания: a-b=BA, если a=OA,b=OB. Здесь проще заметить, что K₁L₁=ML (так как K₁L₁||KL||ML? Нет, K₁L₁ параллельно KL, а KL не равно ML. Давайте аккуратно. K₁L₁=KL. Вектор NL₁ соединяет N и L₁. Заметим, что K₁L₁-NL₁=K₁L₁+L₁N=K₁N. Теперь правая часть: ML+MM₁=ML₁. Нужно проверить, верно ли |K₁N|=|ML₁|. Вектор K₁N — это диагональ грани KNN₁K₁? Нет, K₁ и N не лежат на одной грани напрямую как противоположные вершины прямоугольника без промежуточных точек. Посмотрим на координаты или геометрию. K₁N соединяет верхнюю заднюю левую и нижнюю переднюю правую? Допустим стандартная нумерация. ML₁ — диагональ грани LMM₁L₁. Эти грани равны. Но давайте упростим через перенос. K₁L₁=KL. NL₁=NL₁. Тогда KL-NL₁. Это сложно. Вернемся к определению разности: u-v есть вектор, ведущий из конца v в конец u при общем начале. Или просто: K₁L₁-NL₁=K₁L₁+L₁N=K₁N. Правая часть: ML+MM₁=ML₁. В прямоугольном параллелепипеде отрезки K₁N и ML₁ являются диагоналями граней KNN₁K₁ и LMM₁L₁ соответственно? Нет, K₁N — диагональ грани KNN₁K₁. ML₁ — диагональ грани LMM₁L₁. Грани KNN₁K₁ и LMM₁L₁ противоположны и равны. Диагонали равных прямоугольников равны. Значит, |K₁N|=|ML₁|. Равенство доказано. в) Левая часть: NL-M₁L=NL+LM₁=NM₁. Это вектор, соединяющий N и M₁ (диагональ грани NMM₁N₁). Правая часть: K₁N-LN₁. Заметим, что LN₁=KM₁? Нет. LN₁ — диагональ грани LNN₁L₁. K₁N — диагональ грани KNN₁K₁. Выразим через координаты или перенос. K₁N-LN₁=K₁N+N₁L=K₁L. Вектор K₁L — это пространственная диагональ? Нет, K₁ и L не лежат на одной грани. Проверим равенство |NM₁|=|K₁L|. NM₁ — диагональ боковой грани. K₁L — диагональ другой боковой грани? Нет, K₁ и L — это противоположные вершины верхней и нижней граней? K₁ над K, L рядом с K. Отрезок K₁L является диагональю грани KLL₁K₁. А отрезок NM₁ является диагональю грани NMM₁N₁. Грани KLL₁K₁ и NMM₁N₁ противоположны и равны. Их диагонали равны. Следовательно, |NM₁|=|K₁L|. Равенство доказано. Проверка. Во всех случаях мы свели векторные суммы и разности к диагоналям соответствующих граней прямоугольного параллелепипеда. Поскольку противоположные грани параллелепипеда равны, их диагонали также равны. Таким образом, модули исходных векторных выражений равны между собой, что и требовалось доказать. Ключевые ответы в разделе «Ответы» (-1; 2; -1/2) относятся к другим типам задач (возможно, скалярное произведение или коэффициенты), тогда как данная задача требует именно доказательства равенства модулей, которое всегда истинно для указанных конфигураций.