ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 569: Сумма нескольких векторов

Для решения задачи воспользуемся определением разности векторов: a-b — это вектор, который нужно прибавить к b, чтобы получить a. Геометрически, если отложить векторы a и b из одной точки O, то вектор разности a-b будет направлен из конца вектора b в конец вектора a. Также можно использовать правило треугольника для вычитания: XY=XZ-YZ.

Рассмотрим первый вектор AB₁. Нам нужно представить его как разность двух векторов с началом и концом в вершинах параллелепипеда. Вспомним, что в параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Рассмотрим треугольник AB₁C₁ (или используем свойства параллелограмма). Заметим, что вектор AC₁ является диагональю параллелепипеда, исходящей из вершины A. По правилу сложения векторов AC₁=AB₁+B₁C₁. Отсюда следует, что AB₁=AC₁-B₁C₁. Однако в условии требуется, чтобы начала и концы совпадали с отмеченными точками, а ключ предлагает вариант через точку C. Давайте попробуем другой подход, опираясь на равенство векторов. Вектор B₁C₁ равен вектору BC, а вектор BC равен вектору AD. Это не совсем подходит под формат «разности». Посмотрим на ключ: ответ C₁B. Проверим: C₁B=C₁A+AB. Не похоже. Давайте переформулируем задачу строго по определению разности. AB₁=OB₁-OA для любой точки O. Если взять O=C₁, то AB₁=C₁B₁-C₁A. Вектор C₁B₁ равен CB. Тогда AB₁=CB-C₁A. Это тоже сложно.
Давайте посмотрим на стандартные представления. Часто в таких задачах подразумевается использование равенства AB₁=DC₁? Нет.
Попробуем разложить AB₁ через другие векторы. AB₁=AA₁+A₁B₁.
Вернемся к ключу: а) C₁B. Возможно, в условии опечатка или я неверно интерпретирую «начало и конец совпадают с отмеченными точками». Обычно это значит, что векторы вида MN, где M, N - вершины.
Проверим равенство: AB₁=AC₁-B₁C₁? Нет, AC₁-B₁C₁=AC₁+C₁B₁=AB₁. Да! Но B₁C₁ — это вектор ребра. А AC₁ — диагональ. Оба имеют начало/конец в вершинах. Но ключ говорит C₁B.
Давайте проверим вектор C₁B. C₁B=C₁C+CB.
Может быть, вопрос был про DB₁? Или про другую пару?
Посмотрим на второй пункт: б) AC. Ключ для второго пункта AC. Это вектор. Значит, второй вектор в задаче должен быть представлен как разность, дающая AC. Например, AC=OC-OA.
В условии написано: «Представьте векторы AB_1 и DK...». В ключах нет буквы K. Скорее всего, в оригинальной задаче вектор назывался иначе, например, DC₁ или AC.
Если предположить, что второй вектор — это DC₁, то DC₁=DA+AC₁? Нет.
Давайте решим строго математически для AB₁, игнорируя возможную ошибку в ключе, но пытаясь найти логичное представление.
Один из самых простых способов: AB₁=CB₁-CA. Проверим: CB₁-CA=CB₁+AC=AC+CB₁=AB₁. Верно. Точки C,B_1,A — вершины.
Другой способ: AB₁=DB₁-DA.
Третий способ: AB₁=A₁B₁-A₁A.

Теперь рассмотрим второй вектор. В тексте задачи он назван DK. В параллелепипеде обычно нет точки K. Скорее всего, это опечатка OCR вместо DC₁ или AC. Если бы вектор был AC, то его нельзя представить как разность двух других векторов с вершинами, кроме тривиальных (AC=BC-BA).
Если вектор DC₁, то DC₁=AC₁-AD.
Если вектор BD₁, то BD₁=CD₁-CB.

Учитывая, что ключ содержит «б) AC», вероятно, исходный вектор был таким, что его разностное представление равно AC? Нет, ключ — это ответ на вопрос «представьте вектор X как разность Y-Z». Значит, Y-Z=X. Если ключ «AC», то X=AC? Но в условии сказано «векторы AB1 и DK». Значит, DK должен быть равен AC? В параллелепипеде DK не существует. Если K — это точка пересечения диагоналей? Нет.
Скорее всего, в условии ошибка распознавания, и второй вектор — это DC₁ или подобный, а ключ «AC» относится к другому варианту ответа или это часть другого задания.

Однако, давайте посмотрим на типичные задачи этого номера в разных изданиях. Часто спрашивают: AB₁=CB₁-CA или AB₁=DB₁-DA.
Для второго вектора, если он DC₁, то DC₁=AC₁-AD.

Так как данные противоречивы (отсутствие точки K, несоответствие ключей), я дам наиболее геометрически корректное решение для вектора AB₁ и предполагаемого вектора DC₁ (так как D и C1 часто фигурируют рядом с A и B1 в задачах на симметрию), либо просто представлю AB₁ одним из правильных способов, а для второго укажу на невозможность однозначного решения без уточнения точки K, но предложу вариант для AC, если бы он был искомым.

Но правило гласит: «если числа в условии дают другой результат, пиши свой». Здесь проблема в отсутствии данных (точка K).
Тем не менее, попробуем найти соответствие с ключом «а) C1B». Может быть, вопрос был: «Найдите вектор, равный разности ...»? Нет.
Давайте предположим, что в условии опечатка и нужно было представить C₁B? Нет.

Я напишу решение для AB₁, используя стандартное правило вычитания, и для второго вектора выберу DC₁ как наиболее вероятную замену «DK» (клавиша K рядом с C на некоторых раскладках? Нет. Но визуально DC1 может быть прочитано как DK?).
Или, возможно, вектор AC?
Давайте сделаем так: представим AB₁ как CB₁-CA. И представим AC (как один из возможных кандидатов на роль второго вектора, учитывая ключ) как BC-BA или OC-OA.

Однако, чтобы не вводить ученика в заблуждение несуществующей точкой K, я буду исходить из того, что второй вектор — это DC₁ (частый случай в этой теме).
Решение:
1. Для AB₁: AB₁=CB₁-CA.
2. Для DC₁: DC₁=AC₁-AD.

Но ключ говорит «б) AC». Это странно.
Возможно, задание звучало: «Вычислите разность векторов...» и ответы были векторами.
«Представьте вектор AB1 в виде разности...» -> Ответ: CB1-CA.
«Представьте вектор ... в виде разности...» -> Ответ: AC.
Значит, второй вектор в условии должен быть таким, что его представление равно AC? Нет, AC — это сам вектор. Значит, второй вектор в условии — это AC? Но в условии написано DK.
Скорее всего, условие было: «Представьте векторы AB1 и AC в виде разности...». И тогда для AC ответом может быть, например, BC-BA или OC-OA. Но ключ просто «AC». Это не разность.

Есть вероятность, что ключи даны для вопроса: «Какой вектор равен сумме/разности...».
Например: AB₁+B₁C=AC.
Или C₁B=C₁C+CB.

Из-за высокой степени неопределенности и ошибок в условии/ключе, я предоставлю общее методическое решение для вектора AB₁ и укажу, что для второго вектора необходимо уточнение обозначений, но приведу пример для вектора AC, так как он есть в ключе.