ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 566: Сумма нескольких векторов

Для решения задачи необходимо вспомнить свойства параллелепипеда: его противоположные грани являются равными параллелограммами, а значит, соответствующие им рёбра (как векторы) либо равны, либо противоположны. Вектор определяется направлением и длиной. Если два вектора равны, они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Если векторы противоположны, они разнонаправлены и имеют одинаковую длину.

Рассмотрим каждый пункт отдельно, анализируя направление заданного вектора и находя все рёбра параллелепипеда, которые ему соответствуют по условию.

1. а) Противоположны вектору CB.
   Вектор CB направлен от вершины C к вершине B. Ему противоположен вектор BC. Так как в параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ грань ABCD — параллелограмм, то AD=BC. Следовательно, DA=-BC=-AD. Также боковые ребра параллельны и равны: A₁D₁=AD и B₁C₁=BC. Значит, векторы, противоположные CB (то есть равные BC с обратным знаком или просто имеющие направление B→C), это те, что направлены так же, как BC? Нет, противоположный вектор имеет направление B→C.
   Давайте уточним: вектор x противоположен y, если x=-y.
   -CB=BC.
   Найдем все векторы, равные BC.
   В основании ABCD: AD=BC.
   В верхнем основании A₁B₁C₁D₁: A₁D₁=B₁C₁=BC.
   Таким образом, векторы, равные BC (и, следовательно, противоположные CB): AD,A₁D₁,B₁C₁.
2. б) Противоположны вектору B₁A.
   Противоположный вектор: -B₁A=AB₁.
   Нам нужно найти все векторы, образованные рёбрами, которые равны AB₁.
   Однако AB₁ — это диагональ грани ABB₁A₁, а не ребро. В условии сказано «образованные рёбрами». Значит, мы ищем векторы рёбер , которые противоположны B₁A.
   Вектор B₁A соединяет верхнюю вершину B₁ с нижней A. Это диагональ боковой грани.
   Подождите, в стандартных задачах такого типа обычно рассматриваются только векторы, совпадающие с направлениями ребер. Но B₁A не является ребром. Перечитаем условие: «векторы, образованные рёбрами... которые противоположны вектору...».
   Если вектор B₁A не является ребром, то он не может быть равен никакому другому ребру, кроме случаев вырождения. Но возможно, имеется в виду проекция или ошибка в понимании? Нет, скорее всего, здесь подразумевается сравнение направлений. Но векторы равны только если они коллинеарны и равны по длине. Ребра параллелепипеда не могут быть равны диагонали грани (если это не куб и не особые случаи, но даже тогда направления разные).
   Давайте посмотрим на ключ: «DC+CB-DA». Это сумма векторов, дающая DB? Нет. DC+CB=DB. DB-DA=AB. Ключ странный.
   Пересмотрим задачу. Возможно, опечатка в условии или в моем понимании «образованных рёбрами». Обычно такие задачи предполагают, что сравниваемый вектор тоже является ребром или суммой ребер. Но B₁A — это вектор, соединяющий концы двух смежных ребер BB₁ и BA.
   Давайте предположим, что вопрос именно про векторы ребер . Ни одно ребро не равно вектору B₁A, так как их длины различны (диагональ больше стороны). Следовательно, таких векторов нет? Или ключ указывает на то, что нужно выразить через другие векторы?
   Скорее всего, в пункте б) опечатка в условии учебника или ключе, и имелся в виду вектор ребра, например AA₁ или AB.
   Но давайте строго следовать логике геометрии. Если требуется назвать векторы ребер , равные AB₁, то ответ: таких нет.
   Однако, посмотрев на типичные решебники для номера 566 (или аналогичных), часто путают обозначения. Допустим, имелось в виду BA? Тогда противоположен AB. Равны CD,C₁D₁,A₁B₁.
   Допустим, имелось в виду BB₁? Тогда противоположен B₁B. Равны AA₁,CC₁,DD₁.
   Ключ «DC+CB-DA» эквивалентен DB-DA=AB. То есть ключ говорит, что ответом является вектор AB (или равные ему). Значит, в условии пункта б) должно было быть «противоположны вектору BA» или «равны вектору AB»? Или «противоположны вектору A₁B»? Нет.
   Если ключ дает AB, то вектор, которому он противоположен, это BA. В условии написано B₁A. Это явная нестыковка. Вероятно, в оригинале задачи был вектор BA или AB. Учитывая контекст школьной программы, чаще всего спрашивают про параллельные ребра. Вектор B₁A не параллелен ни одному ребру. Поэтому пункт б) корректно решить нельзя без исправления условия. Но так как я должен дать решение, я укажу на отсутствие таких векторов среди ребер, либо предположу опечатку в индексе 1. Если убрать индекс 1 (BA), то ответ: CD,C₁D₁,A₁B₁.
3. в) Равны вектору -DC.
   -DC=CD.
   Ищем векторы ребер, равные CD.
   В основании ABCD: BA=CD.
   В верхнем основании: B₁A₁=CD и C₁D₁? Нет, C₁D₁=CD? Да, C₁D₁ параллелен CD и равен ему по длине и направлению? Проверим: CD идет от C к D. C₁D₁ идет от C₁ к D₁. Они равны. B₁A₁ идет от B₁ к A₁. Он равен BA, который равен CD.
   Итак, векторы: BA,B₁A₁,C₁D₁.
4. г) Равны вектору -A₁B₁.
   -A₁B₁=B₁A₁.
   Ищем векторы ребер, равные B₁A₁.
   Как выяснилось выше, B₁A₁=BA=CD=C₁D₁.
   Ответ: BA,CD,C₁D₁.

Проверка результатов основана на свойстве параллельного переноса в параллелепипеде. Все векторы, лежащие на параллельных ребрах одного направления и одинаковой длины, считаются равными. Для пункта б) из-за несоответствия вектора B₁A (диагональ грани) и векторов ребер, классическое решение предполагает наличие опечатки в условии (скорее всего, имелся в виду вектор ребра BA или AB). При интерпретации ключа как указывающего на вектор AB, правильным исходным вектором для противопоставления был бы BA.