ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 565: Сумма нескольких векторов
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дан тетраэдр ABCD. Докажите равенства
а) AB+BD=AC+CD
б) AB+BC=DC+AD
в) DC+BD=AC+BA.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства векторных равенств в тетраэдре ABCD будем использовать правило треугольника (или многоугольника) сложения векторов. Согласно этому правилу, сумма двух векторов, конец первого из которых совпадает с началом второго, равна вектору, соединяющему начало первого со концом второго: XY+YZ=XZ. Также воспользуемся свойством антикоммутативности: XY=-YX.
Вычисление и доказательство по пунктам.
- а) Докажем равенство AB+BD=AC+CD.
Рассмотрим левую часть: по правилу треугольника AB+BD=AD.
Рассмотрим правую часть: аналогично AC+CD=AD.
Так как обе части равны одному и тому же вектору AD, то равенство верно. - б) Докажем равенство AB+BC=DC+AD.
Левая часть: AB+BC=AC.
Правая часть: переставим слагаемые для удобства (сложение векторов коммутативно): DC+AD=AD+DC. По правилу треугольника это равно AC.
Следовательно, AC=AC, равенство доказано. - в) Докажем равенство DC+BD=AC+BA.
Левая часть: перепишем сумму как BD+DC. По правилу треугольника получаем BC.
Правая часть: перепишем сумму как BA+AC. По правилу треугольника получаем BC.
Обе части равны вектору BC, значит, равенство верно.
Проверка.
Во всех трех случаях мы свели сложные суммы к простым векторам-диагоналям или ребрам тетраэдра. В пункте а) оба выражения дают диагональ грани ABD (если рассматривать плоскость) или просто вектор AD. В пункте б) оба дают вектор AC. В пункте в) оба дают вектор BC. Логика применения правила треугольника не нарушена, знаки векторов учтены корректно.
Доказано через правило треугольника
а) обе части равны AD
б) обе части равны AC
в) обе части равны BC.
Ключ в задании содержит опечатку или относится к другой задаче (упоминаются точки P, Q, K, O, которых нет в условии). Решение построено строго на основе условия задачи №565 про тетраэдр ABCD.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 565 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 565?
Краткий ответ: Доказано через правило треугольника: а) обе части равны AD; б) обе части равны AC; в) обе части равны BC.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Сумма нескольких векторов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.