ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 563: Объём шара и площадь сферы

Для решения задачи воспользуемся определением равенства векторов: два вектора равны, если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или одной прямой), имеют одинаковую длину и одно направление. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ противоположные ребра параллельны и равны, а также диагонали граней обладают свойствами параллелограммов.

а) От точки C отложить вектор, равный DD₁.

• Вектор DD₁ направлен вертикально вверх по ребру параллелепипеда.
• Все боковые рёбра параллелепипеда равны и сонаправлены: AA₁=BB₁=CC₁=DD₁.
• Следовательно, от точки C нужно отложить вектор CC₁.

б) От точки D отложить вектор, равный CM.

• Точка M — середина ребра B₁C₁. Рассмотрим проекцию или перенос этого вектора в нижнее основание или через центр симметрии.
• Более простой путь: заметим, что вектор CM соединяет вершину нижнего основания с серединой верхнего ребра.
• Рассмотрим вектор AB₁. Он не равен CM напрямую по направлению без дополнительных построений. Давайте проверим ключевые варианты из ответа: AB_1,DC₁.
• Проверим DC₁. Это вектор грани DCC₁D₁. А CM? Нет, это неверно.
• Давайте внимательно посмотрим на геометрию. CM=CB₁+B₁M. Это сложно.
• Попробуем другой подход. Вектор CM можно представить как сумму CC₁+C₁M. Так как M — середина B₁C₁, то C₁M=1/2C₁B₁=1/2DA. Тогда CM=DD₁+1/2DA.
• Ищем вектор, начинающийся в D, равный этому. Пусть это будет DX. Тогда DX=DD₁+1/2DA. Точка X должна быть такой, чтобы DX был равен CM.
• Однако, в школьных задачах часто подразумевается равенство векторов, соединяющих соответствующие точки при параллельном переносе. Проверим вариант AB₁? Нет, начало должно быть в D.
• Посмотрим на ответ к пункту б): AB_1,DC₁. Но вопрос: «отложить от точки D ». Значит, искомый вектор должен иметь начало в D. Если ответ содержит DC₁, то это вектор с началом в D. Равен ли DC₁ вектору CM?
• DC₁=DC+CC₁. CM=CB₁+B₁M? Нет.
• Давайте пересмотрим условие. Возможно, в ключе опечатка или я неправильно интерпретирую «Назовите вектор... который получится». Обычно это означает найти конец вектора.
• Если мы откладываем от D вектор, равный CM, то его конец X определяется соотношением DX=CM.
• Заметим, что CM и AB₁ не равны. Но CM может быть равен A₁K? Нет.
• Давайте используем координаты для точности. Пусть D(0,0,0), A(a,0,0), C(0,b,0), D₁(0,0,c). Тогда B(a,b,0), A₁(a,0,c), B₁(a,b,c), C₁(0,b,c).
• M — середина B₁C₁: M(a+0/2,b,c)=(a/2,b,c).
• K — середина A₁D₁: K(a+0/2,0,c)=(a/2,0,c).
• Вектор CM=M-C=(a/2,b,c)-(0,b,0)=(a/2,0,c).
• Нужно отложить от D(0,0,0) вектор v=(a/2,0,c). Конец этого вектора X(a/2,0,c). Это точка K!
• Таким образом, искомый вектор — DK.
• Почему в ключе написано AB_1,DC₁? Возможно, там ошибка в условии или ключе. Но давайте проверим другие пункты, чтобы понять логику.

в) От точки A₁ отложить вектор, равный AC.

• Вектор AC является диагональю нижнего основания.
• В параллелепипеде диагональ верхнего основания A₁C₁ равна диагонали нижнего основания AC (параллельны, равны, сонаправлены).
• Следовательно, от точки A₁ нужно отложить вектор A₁C₁.

г) От точки C₁ отложить вектор, равный CB.

• Вектор CB лежит в нижнем основании и параллелен ребру DA (или D₁A₁).
• В верхнем основании вектор C₁B₁ равен CB.
• Но нам нужно начать от C₁. Вектор C₁B₁ начинается в C₁.
• Также CB=DA=D₁A₁. Вектор C₁D₁ не равен CB (разные направления). C₁B₁ равен CB.
• Ответ: C₁B₁.

д) От точки M отложить вектор, равный KA₁.

• Вычислим координаты вектора KA₁. K(a/2,0,c), A₁(a,0,c).
• KA₁=A₁-K=(a-a/2,0,c-c)=(a/2,0,0).
• Этот вектор параллелен оси x (ребру DA) и имеет длину половину ребра.
• Теперь отложим этот вектор от точки M(a/2,b,c).
• Конец вектора Y=M+KA₁=(a/2+a/2,b,c)=(a,b,c).
• Точка (a,b,c) — это вершина B₁.
• Следовательно, искомый вектор — MB₁.

Проверка и уточнение пункта б)

Вернемся к пункту б). Мы нашли, что CM=(a/2,0,c) и DK=(a/2,0,c). Значит, правильный ответ — DK. В предоставленном ключе (AB_1,DC₁) явно есть несоответствие с условием «отложить от точки D», так как AB₁ начинается в A. Вероятно, ключ относится к другому варианту задания или содержит ошибку. Однако, строго следуя математическому выводу: вектор, равный CM и начинающийся в D, это DK.

Аналогично проверим пункт а). DD₁=(0,0,c). От C(0,b,0) получаем точку (0,b,c), которая есть C₁. Ответ CC₁ совпадает с логикой параллельного переноса боковых ребер.

Пункт в). AC=(-a,b,0) (если A(a,0,0),C(0,b,0), то AC=(-a,b,0)). От A₁(a,0,c) получаем X(a-a,0+b,c)=(0,b,c)=C₁. Ответ A₁C₁.

Пункт г). CB=(a,0,0) (если C(0,b,0),B(a,b,0)). От C₁(0,b,c) получаем Y(a,b,c)=B₁. Ответ C₁B₁.