ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 570: Сумма нескольких векторов

План решения:

Для упрощения выражений с векторами воспользуемся правилами сложения и вычитания. Вспомним основное правило треугольника: сумма двух векторов, конец первого из которых совпадает с началом второго, равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго (AB+BC=AC). Также учтём, что XY=-YX и XX=0. Разберём каждый пункт отдельно.

Вычисление:

а) Рассмотрим сумму (AB+CA+DC)+(BC+CD). Сгруппируем слагаемые так, чтобы концы предыдущих векторов совпадали с началами последующих. Перепишем CA как -AC или оставим в исходном виде, но удобнее переставить слагаемые по правилу коммутативности: AB+BC+CD+DA? Давайте посмотрим внимательнее на исходное выражение: AB+CA+DC+BC+CD. Заметим, что DC+CD=DD=0. Эти два вектора взаимно противоположны и их сумма равна нулевому вектору. Тогда выражение упрощается до: AB+CA+BC. Переставим слагаемые для удобства применения правила треугольника: CA+AB+BC. Сначала сложим первые два: CA+AB=CB. Теперь прибавим третий: CB+BC=CC=0. Итак, результат равен нулевому вектору 0. б) Рассмотрим сумму (AB-AC)+DC. Воспользуемся определением разности векторов: AB-AC=CB (вектор, идущий от конца вычитаемого к концу уменьшаемого). Подставим это в выражение: CB+DC Переставим слагаемые: DC+CB. По правилу треугольника: DC+CB=DB. Итак, результат равен вектору DB.

Проверка:

а) Проверим геометрически. Сумма AB+BC+CD+DA обычно даёт ноль, если точки образуют замкнутый контур. У нас есть AB,BC,CD и CA,DC. Заменим DC на -CD. Тогда CD+DC=0. Остаётся AB+BC+CA. Это сумма векторов треугольника ABC, идущих по кругу (A→B→C→A), которая всегда равна нулю. Ответ верен. б) AB-AC — это вектор CB. Прибавляем DC. Получаем путь D→C→B, который эквивалентен вектору DB. Ответ верен.