ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 573: Сумма нескольких векторов

План решения:

Для представления вектора AB в виде суммы других векторов воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника) для сложения векторов. Согласно правилу Шалле, если конец одного вектора совпадает с началом следующего, то их сумма равна вектору, соединяющему начало первого с концом последнего. Также учтём, что XY=-YX.

Вычисление по пунктам:

а) Нам нужно представить AB через сумму AC+DC+BD. Преобразуем векторы так, чтобы они образовывали цепочку от A до B: AC начинается в A. Вектор DC можно записать как -CD или оставить как есть, но удобнее переставить слагаемые и использовать свойство обратного вектора: DC=-CD. Однако давайте посмотрим на структуру суммы напрямую. Заметим, что AC+CB=AB. У нас нет CB, но есть BD и DC. Рассмотрим сумму AC+CD+DB=AB. В условии даны векторы AC,DC,BD. Запишем DC=-CD и BD=-DB. Тогда сумма из условия: S_a=AC+DC+BD=AC-CD-DB. Это не равно AB напрямую. Давайте проверим другой путь разложения. Нам нужно получить AB. Путь A→C→D→B дает вектор AC+CD+DB=AB. В условии же стоят DC и BD. Значит, нам нужно выразить CD и DB через данные векторы. CD=-DC DB=-BD Подставим в равенство пути: AB=AC+(-DC)+(-BD)=AC-DC-BD. Но в задании просят представить AB как алгебраическую сумму именно этих векторов. Возможно, имеется в виду проверка тождества или запись через них с коэффициентами? Перечитаем условие: "Представьте вектор AB как алгебраическую сумму следующих векторов". Обычно это значит найти коэффициенты x,y,z, такие что AB=xu+yv+zw. В школьной геометрии чаще всего подразумевается просто перегруппировка с использованием свойств XY=-YX. Давайте попробуем собрать цепочку из данных векторов, меняя знаки там, где необходимо. 1) AC — начало в A. 2) Чтобы продолжить от C, нужен вектор с началом в C. Есть DC (конец в C) и BD (конец в D). Если мы возьмем -DC, получим CD. Тогда цепочка: AC+CD=AD. 3) Теперь у нас есть AD. Нужно дойти до B. Есть вектор BD (конец в D). Если взять -BD, получим DB. Но нам нужен вектор из D в B, т.е. DB? Нет, AD+DB=AB. А DB=-BD. Итак: AB=AC+CD+DB=AC+(-DC)+(-BD)=AC-DC-BD. Ответ а): AB=AC-DC-BD.

б) Представить AB через DA,DC,CB. Цепочка от A до B: A→D→C→B. Сумма векторов этой цепочки: AD+DC+CB=AB. У нас в наличии DA. Заметим, что AD=-DA. Подставим: -DA+DC+CB=AB. Ответ б): AB=-DA+DC+CB.

в) Представить AB через DA,CD,BC. Цепочка от A до B: A→D→C→B. Как и выше, AB=AD+DC+CB. Выразим слагаемые через данные векторы: AD=-DA DC=-CD CB=-BC Подставим все три выражения: AB=(-DA)+(-CD)+(-BC)=-DA-CD-BC. Ответ в): AB=-DA-CD-BC.

Проверка:

Проверим пункт а) численно/логически. Пусть координаты: A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(2,-2). AB=(4,0). AC=(2,2). DC=C-D=(0,4). BD=D-B=(-2,-2). Формула ответа: AC-DC-BD=(2,2)-(0,4)-(-2,-2)=(2-0+2,2-4+2)=(4,0). Совпало с AB. Проверим пункт б): DA=A-D=(-2,2). DC=(0,4). CB=B-C=(2,-2). Формула: -DA+DC+CB=-(-2,2)+(0,4)+(2,-2)=(2,-2)+(0,4)+(2,-2)=(4,0). Совпало. Проверим пункт в): DA=(-2,2). CD=D-C=(0,-4). BC=C-B=(-2,2). Формула: -DA-CD-BC=-(-2,2)-(0,-4)-(-2,2)=(2,-2)+(0,4)+(2,-2)=(4,0). Совпало.