ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 576: Сумма нескольких векторов

План решения:

Для нахождения неизвестного вектора x воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов. В параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, поэтому соответствующие им векторы равны (например, DC=AB, D₁A₁=DA). Мы упростим левую часть каждого равенства, сгруппировав слагаемые по правилу треугольника (MN+NP=MP), а затем выразим x через разность известных векторов.

Решение пункта а)

Дано уравнение: DC+D₁A₁+CD₁+x+A₁C₁=DB.

Сначала упростим сумму известных векторов слева от x. Заметим, что D₁A₁=DA (так как грани ADD₁A₁ — параллелограмм) и A₁C₁=AC (диагонали верхнего и нижнего оснований параллельны и равны).

Перепишем сумму, используя правило «цепочки» или перегруппировку:

• Рассмотрим первые два слагаемых: DC+CD₁. По правилу треугольника это равно DD₁.
• Теперь добавим к этому D₁A₁: получаем DD₁+D₁A₁=DA₁.
• Осталось добавить A₁C₁: DA₁+A₁C₁=DC₁.

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид: DC₁+x=DB.

Выразим x: x=DB-DC₁.

Разность векторов можно представить как сумму обратного вектора: x=DB+C₁D.

Вспомним свойства параллелепипеда. Вектор DB является диагональю основания ABCD. Вектор C₁D соединяет вершину C₁ с D. Давайте проверим альтернативный путь упрощения исходной суммы, чтобы убедиться в результате.

Исходная сумма без x: S=DC+D₁A₁+CD₁+A₁C₁. Заменим D₁A₁ на CB? Нет, D₁A₁=DA=CB неверно, DA=CB только если направление совпадает. В стандартном обозначении ABCD против часовой стрелки снизу, DA направлен от D к A. CB направлен от C к B. Они равны. Да, DA=CB. Давайте проще: DC+CD₁=DD₁. D₁A₁+A₁C₁=D₁C₁. Тогда сумма равна DD₁+D₁C₁=DC₁. Уравнение: DC₁+x=DB. Отсюда x=DB-DC₁=DB+C₁D. Рассмотрим вектор C₁B. Он равен C₁C+CB=D₁D+DA? Нет. Давайте найдем конец вектора x, если начало в точке D? Нет, мы ищем конкретный вектор между вершинами. x=DB+C₁D. Приложим C₁D к концу DB (точка B)? Нет, приложим к началу. x=C₁D+DB. Начало C₁, конец B. То есть x=C₁B. Проверим ключ. Ключ говорит AC₁. Возможно, я ошибся в знаке или порядке. Перечитаем условие внимательно: DC+D₁A₁+CD₁+x+A₁C₁=DB. Моя группировка: (DC+CD₁)+(D₁A₁+A₁C₁)=DD₁+D₁C₁=DC₁. Верно. DC₁+x=DB⇒x=DB-DC₁. DB-DC₁=C₁B. Почему в ключе AC₁? Может быть опечатка в условии пересказа или в ключе? Или я неправильно определил равенство векторов? D₁A₁ параллельно DA. A₁C₁ параллельно AC. Если ключ AC₁, то x=AC₁. Тогда сумма должна была быть DB-AC₁. Давайте проверим пункт б, может там будет яснее с методом.

Решение пункта б)

Дано уравнение: DA+x+D₁B+AD₁+BA=DC.

Сгруппируем известные векторы слева от x:

• DA+AD₁=DD₁ (правило треугольника).
• BA=-AB. Также заметим, что BA=CD (так как ABCD — параллелограмм, AB=DC, значит BA=CD).
• Остается D₁B.

Сумма известных: DD₁+D₁B+BA.

Сначала DD₁+D₁B=DB.

Теперь прибавляем BA: DB+BA=DA.

Итак, левая часть равна DA+x.

Уравнение принимает вид: DA+x=DC.

Выразим x: x=DC-DA.

По правилу вычитания векторов из одной точки: DC-DA=AC.

Но в ключе для пункта б) стоит DB₁. Это сильно расходится с моим результатом AC.

Давайте перепроверю условие задачи №576 из типичных сборников (Атанасян). Часто в таких задачах векторы складываются иначе. Проверю еще раз пункт б: DA+x+D₁B+AD₁+BA=DC Группировка: (DA+AD₁)+x+(D₁B+BA) DA+AD₁=DD₁. D₁B+BA=D₁A. Тогда сумма: DD₁+D₁A+x=DA+x. Получаем DA+x=DC⇒x=AC. Почему ключ другой? Возможно, в условии опечатка в пересказе или я неверно трактовал "начало и конец которого являются вершинами". AC подходит под критерий. Однако, если посмотреть на ключ "а) AC1; б) DB1", это очень специфические ответы. Давайте попробуем решить так, чтобы получить ключ, и проверить, не было ли ошибки в записи условия в запросе. Если ответ а) AC₁, то x=AC₁. Подставим в а): DC+D₁A₁+CD₁+AC₁+A₁C₁=DB? Левая часть: DC₁+AC₁+A₁C₁... это не дает DB. Скорее всего, в предоставленном "Ключе" допущена ошибка привязки к номеру или условию, либо условие в запросе содержит неточности по сравнению с оригинальным учебником Атанасяна. В классическом задаче 576 (Атанасян 10-11):\na) DC+CA+AA₁+A₁B₁+B₁B=…? Нет. Давайте решим строго по тексту условия, данному пользователем, так как инструкция гласит: "условие уже дано полностью: считай строго по нему... ключ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой". Я буду придерживаться своего математического вывода. Повторная проверка пункта а): DC+D₁A₁+CD₁+x+A₁C₁=DB 1. DC+CD₁=DD₁ 2. D₁A₁+A₁C₁=D₁C₁ 3. Сумма 1 и 2: DD₁+D₁C₁=DC₁ 4. Уравнение: DC₁+x=DB 5. x=DB-DC₁=C₁B. Ответ а): C₁B. Повторная проверка пункта б): DA+x+D₁B+AD₁+BA=DC 1. DA+AD₁=DD₁ 2. D₁B+BA=D₁A 3. Сумма 1 и 2: DD₁+D₁A=DA 4. Уравнение: DA+x=DC 5. x=DC-DA=AC. Ответ б): AC. Примечание: Результаты отличаются от предложенного ключа. Согласно инструкции, я обязан привести решение, основанное на тексте условия. Вероятно, в условии пересказа были искажены векторы (например, знаки или направления), но я не могу их менять.

Проверка:

Для пункта а): Подставим x=C₁B в исходное выражение. DC+D₁A₁+CD₁+C₁B+A₁C₁. Группируем: (DC+CD₁)+(D₁A₁+A₁C₁)+C₁B=DD₁+D₁C₁+C₁B=DC₁+C₁B=DB. Равенство верно.

Для пункта б): Подставим x=AC. DA+AC+D₁B+AD₁+BA. Группируем: (DA+AC)+(AD₁+D₁B)+BA=DC+AB+BA. Так как AB+BA=0, остается DC. Равенство верно.