ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 768

План решения:

1. Определим положение высоты пирамиды и проекции вершины M на основание.
2. Используя условие о равных углах боковых граней с основанием, найдем расстояние от основания высоты до остальных сторон треугольника ABC.
3. Вычислим апофемы боковых граней и площади этих граней.
4. Сложим площади всех боковых граней для получения итоговой площади боковой поверхности.

Ход вычислений:

1. Так как грань MAC перпендикулярна плоскости основания ABC, то высота пирамиды MH лежит в этой грани и опущена из вершины M на сторону AC. Следовательно, точка H принадлежит отрезку AC, а MH⊥AC.

2. По условию две другие боковые грани (MAB и MBC) составляют равные углы с плоскостью основания. Это означает, что проекция высоты MH (точка H) равноудалена от сторон AB и BC треугольника ABC. То есть H лежит на биссектрисе угла B? Нет, давайте проверим теорему о трех перпендикулярах.

Пусть d(H,BC) — расстояние от точки H до прямой BC. Поскольку MH⊥ пл. ABC, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная MC проецируется на HC. Но нам дано расстояние от основания высоты H до грани MBC. Грани MBC и ABC пересекаются по прямой BC. Проведем из H перпендикуляр HK к BC. Тогда угол между плоскостями MBC и ABC равен углу ∠MKH. Расстояние от точки H до плоскости MBC — это длина перпендикуляра, опущенного из H на эту плоскость. В прямоугольном треугольнике MHK (так как MH⊥HK) высота, опущенная из прямого угла H на гипотенузу MK, равна данному расстоянию h=32/4.

Однако есть более простое свойство: если боковые грани MAB и MBC наклонены к основанию под равными углами, то проекция вершины M (точка H) равноудалена от сторон AB и BC. Пусть это расстояние равно x. То есть d(H,AB)=d(H,BC)=x.

Рассмотрим треугольник ABC. ∠C=90^°, AC=4, BC=3. По теореме Пифагора AB=3²+4²=5 см.

Точка H лежит на стороне AC. Расстояние от H до BC — это просто длина отрезка HC, так как AC⊥BC. Значит, HC=x.

Расстояние от H до AB также должно быть равно x. Обозначим проекцию H на AB как L. Треугольники ALH и ACB подобны? Нет, рассмотрим координаты или площади.

Пусть CH=x. Тогда AH=4-x. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен sinA=BC/AB=3/5. В прямоугольном треугольнике ALH (где HL⊥AB) имеем HL=AH·sinA. По условию HL=HC=x. Подставим значения: x=(4-x)·3/5 5x=12-3x 8x=12impliesx=12/8=3/2=1.5 см .

Таким образом, HC=1.5 см, AH=4-1.5=2.5 см.

Теперь найдем высоту пирамиды MH. Нам дано расстояние от H до грани MBC. Как мы выяснили ранее, это расстояние является высотой h_H в прямоугольном треугольнике MHK, где HK⊥BC. Но так как AC⊥BC, то H лежит на AC, значит HC перпендикулярно BC. То есть точка C совпадает с точкой K? Да, потому что HC лежит на прямой AC, которая перпендикулярна BC. Следовательно, HC — это и есть перпендикуляр из H на BC. Длина HC=1.5 см. Треугольник MHC прямоугольный (∠MHC=90^°). Расстояние от H до гипотенузы MC (это и есть расстояние от H до грани MBC, так как грань проходит через MC и перпендикуляр к линии пересечения BC лежит в грани... стоп. Проверим геометрию). Грань MBC проходит через прямую BC. Плоскость ABC перпендикулярна плоскости MAC? Нет, грань MAC⊥ABC. Значит, любая прямая в MAC, перпендикулярная линии пересечения AC, будет перпендикулярна ABC. MH⊥AC, значит MH⊥ABC. Линия пересечения граней MBC и ABC — это BC. Проведем HC⊥BC (так как ∠C=90^°). Тогда по теореме о трех перпендикулярах MC⊥BC. Угол между гранью MBC и основанием — это ∠MCH. Расстояние от точки H до плоскости MBC: проведем HP⊥MC в плоскости MHC. Так как BC⊥MC и BC⊥MH (т.к. MH⊥ABC), то BC⊥ плоскости MHC. Следовательно, плоскость MBC перпендикулярна плоскости MHC. Перпендикуляр HP, опущенный из H на линию пересечения MC, будет перпендикулярен всей плоскости MBC. Значит, данное расстояние HP=32/4. В прямоугольном треугольнике MHC (∠H=90^°): HC=1.5=3/2. Известна высота HP, проведенная к гипотенузе MC. Обозначим MH=h_pyr. MC=MH²+HC²=h2pyr+(1.5)². Площадь треугольника MHC можно выразить двумя способами: S_MHC=1/2MH·HC=1/2MC·HP h_pyr·1.5=h2pyr+2.25·32/4 Разделим обе части на 1.5=3/2: h_pyr=h2pyr+2.25·32/4·2/3=h2pyr+2.25·2/2 Возведем в квадрат: h2pyr=(h2pyr+2.25)·2/4=1/2(h2pyr+2.25) 2h2pyr=h2pyr+2.25 h2pyr=2.25impliesh_pyr=1.5 см .

Итак, высота пирамиды MH=1.5 см.

Найдем площади боковых граней.

1. Грань MAC. Это прямоугольный треугольник (MH⊥AC). Основание AC=4, высота MH=1.5. S_MAC=1/2·4·1.5=3 см² .

2. Грань MBC. Это прямоугольный треугольник (MC⊥BC, т.к. BC⊥ пл. MAC). Катет BC=3. Катет MC=MH²+HC²=1.5²+1.5²=1.52. S_MBC=1/2·BC·MC=1/2·3·1.52=4.52/2=2.252=92/4 см² .

3. Грань MAB. Найдем ее площадь. Апофема к стороне AB — это отрезок ML, где L — проекция H на AB (так как HL⊥AB, то по ТТП ML⊥AB). Длина HL=x=1.5 см (мы нашли это выше). Высота пирамиды MH=1.5 см. Апофема ML=MH²+HL²=1.5²+1.5²=1.52. Основание AB=5 см. S_MAB=1/2·AB·ML=1/2·5·1.52=7.52/2=3.752=152/4 см² .

Полная площадь боковой поверхности: S_бок =S_MAC+S_MBC+S_MAB S_бок =3+92/4+152/4=3+242/4=3+62.

Вынесем общий множитель 3: S_бок =3(1+22) см².

Проверка:

Пересчитаем суммы дробей: 92/4+152/4=242/4=62. Верно. Геометрическая интерпретация: точка H делит AC в отношении 2.5:1.5=5:3. Расстояния до сторон AB и BC равны 1.5. Углы наклона граней MAB и MBC равны, так как тангенсы углов равны MH/HL=1.5/1.5=1 и MH/HC=1.5/1.5=1. Углы равны 45^°. Все условия выполнены.