ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 764: векторы

План решения:

Для каждого пункта задачи мы будем использовать свойства правильной треугольной призмы и методы стереометрии. Сначала определим геометрические характеристики сечений и углов, затем выполним вычисления для нахождения площадей, длин векторов и объёма.

а) Площадь сечения плоскостью ABC₁

Сечение ABC₁ представляет собой треугольник. Основанием этого треугольника является сторона AB основания призмы, равная 6 см. Чтобы найти высоту треугольника ABC₁, опустим перпендикуляр из вершины C₁ на сторону AB. Пусть M — середина AB. Так как призма правильная, то проекцией C₁ на плоскость основания является точка C. Отрезок CM является медианой и высотой равностороннего треугольника ABC. Длина CM=a3/2=63/2=33 см.

По теореме о трёх перпендикулярах, отрезок C₁M перпендикулярен AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁CM: катет CC₁=3 см (боковое ребро), катет CM=33 см. Гипотенуза C₁M (высота сечения) равна: C₁M=CC21+CM²=3²+(33)²=9+27=36=6 см . Площадь треугольника ABC₁: S=1/2·AB·C₁M=1/2·6·6=18 см² . Примечание: В ключе указано 93, что соответствует площади проекции или ошибке в условии/ключе. Строго по геометрии правильный ответ 18 см². Однако, если под «сечением» подразумевается площадь проекции или иное толкование, проверьте условие. Для стандартного сечения через диагональ грани и ребро ответ 18. Если же сечение проходит через A,B и центр верхнего основания, это другое. Но формулировка ABC₁ однозначна. Оставим строгий расчёт: 18 см².

б) Доказательство параллельности прямой A₁B₁ плоскости AC₁B

В правильной треугольной призме боковые грани являются параллелограммами (в данном случае прямоугольниками). Следовательно, прямая A₁B₁ параллельна прямой AB. Прямая AB лежит в плоскости AC₁B (так как точки A и B принадлежат этой плоскости). По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая (A₁B₁), не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (AB), то она параллельна самой плоскости. Таким образом, A₁B₁∥(AC₁B).

в) Угол между прямой B₁C и плоскостью ABC

Плоскость ABC — это нижнее основание призмы. Проекцией точки B₁ на эту плоскость является точка B. Следовательно, проекцией прямой B₁C на плоскость ABC является прямая BC. Искомый угол — это угол ∠B₁CB в прямоугольном треугольнике B₁BC (угол при B прямой, так как боковое ребро перпендикулярно основанию).

Катеты треугольника: BB₁=3 см, BC=6 см. tan(∠B₁CB)=BB₁/BC=3/6=0.5. Угол равен arctan(0.5).

г) Угол между плоскостями AB₁C и ABC

Линией пересечения плоскостей является прямая AC. Чтобы найти линейный угол двугранного угла, нужно провести в каждой плоскости перпендикуляры к линии пересечения из одной точки. Пусть K — середина AC. В равностороннем треугольнике ABC медиана BK перпендикулярна AC. Рассмотрим треугольник AB₁C. Он равнобедренный (AB₁=CB₁=6²+3²=45). Медиана B₁K также перпендикулярна AC. Значит, искомый угол — это ∠BKB₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник B₁BK (угол при B прямой, так как BB₁⊥(ABC)). Длина BK (высота основания): BK=63/2=33 см. Длина BB₁=3 см. tan(∠BKB₁)=BB₁/BK=3/33=1/3=3/3. Это соответствует углу 30^° или arctan(3/3). Замечание: Ключ предлагает arctan(2/2). Проверим вычисления. Если бы угол был другим, например, между гранью и основанием, тангенс был бы h/a_}proj. Здесь всё верно. Возможно, в ключе ошибка или другая конфигурация. Мой расчёт даёт arctan(1/3).

д) Длина вектора BB₁-BC+2A₁A-C₁C

Выразим все векторы через базисные векторы или координаты. Заметим, что A₁A=-AA₁=-BB₁=-CC₁. Также C₁C=-CC₁=BB₁? Нет, C₁C направлен вниз, BB₁ вверх. C₁C=-CC₁. А A₁A=-AA₁. Так как AA₁=BB₁=CC₁, то A₁A=C₁C=-BB₁. Подставим в выражение: v=BB₁-BC+2(-BB₁)-(-BB₁) v=BB₁-BC-2BB₁+BB₁ v=(BB₁-2BB₁+BB₁)-BC=0-BC=-BC=CB. Длина вектора CB равна длине стороны основания, то есть 6 см.

е) Объём призмы

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Площадь правильного треугольника со стороной a=6: S_base=a²3/4=363/4=93 см² . Высота призмы H=BB₁=3 см. V=S_base·H=93·3=273 см³ . Примечание: В ключе единица измерения см², но для объёма должно быть см³.