ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 761

План решения.

В задачах на доказательство свойств движений мы опираемся на то, что движение сохраняет расстояния между точками и углы. Для пункта а) удобно использовать метод от противного: предположим, что образ прямой a₁ не параллелен плоскости β₁, и покажем противоречие с тем, что исходная прямая a не имела общих точек с плоскостью β. Для пункта б) воспользуемся признаком перпендикулярности прямой к плоскости (прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости) и теоремой Пифагора для проверки сохранения углов при отображении.

Решение пункта а).

Дано: прямая a∥ плоскость β (a и β не имеют общих точек). При движении F прямая a переходит в a₁, а плоскость β — в β₁. Доказать: a₁∥β₁.
Доказательство методом от противного:
Предположим обратное: пусть a₁ не параллельна β₁. Так как a₁ — это прямая, а β₁ — плоскость, то если они не параллельны, они должны пересекаться. Значит, существует точка M₁, такая что M₁nina₁ и M₁ninβ₁.
Так как M₁ является образом некоторой точки M при обратном движении F^-1, то есть F(M)=M₁, то прообраз точки M₁ лежит на прообразе прямой a₁ (то есть на a) и на прообразе плоскости β₁ (то есть на β).
Следовательно, точка M принадлежит и прямой a, и плоскости β. Это означает, что a и β имеют общую точку, то есть a пересекает β или лежит в ней. Но по условию a∥β (не имеют общих точек). Получили противоречие.
Значит, наше предположение неверно, и a₁∥β₁.

Решение пункта б).

Дано: прямая abot плоскость β. При движении F прямая a переходит в a₁, а плоскость β — в β₁. Доказать: a₁botβ₁.
Пусть M — точка пересечения прямой a с плоскостью β. Тогда M₁=F(M) — точка пересечения a₁ с β₁ (так как движение сохраняет принадлежность).
Выберем на прямой a точку A (A≠M), а в плоскости β две различные точки B и C, отличные от M, так чтобы прямые MB и MC были различны (например, возьмем любые две пересекающиеся в M прямые в плоскости β).
Так как abotβ, то abotMB и abotMC. Следовательно, треугольники AMB и AMC — прямоугольные с прямыми углами при вершине M.
По теореме Пифагора: AB²=AM²+MB² AC²=AM²+MC²
При движении расстояния сохраняются: A₁M₁=AM, M₁B₁=MB, A₁B₁=AB. Подставим эти равенства в первое соотношение: A₁B21=A₁M21+M₁B21
Из этого равенства следует, что треугольник A₁M₁B₁ — прямоугольный с гипотенузой A₁B₁. Значит, угол nangleA₁M₁B₁=90^nirc, то есть a₁botM₁B₁.
Аналогично из второго соотношения получаем A₁C21=A₁M21+M₁C21, откуда следует, что a₁botM₁C₁.
Таким образом, прямая a₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым M₁B₁ и M₁C₁, лежащим в плоскости β₁. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, a₁botβ₁.

Проверка.

Логика доказательства корректна. В пункте а) мы использовали фундаментальное свойство движения — взаимно однозначность отображения пространства на себя, которая сохраняет структуру «принадлежности» объектов. Если бы образы пересекались, то и прообразы должны были бы пересекаться, что противоречит условию параллельности. В пункте б) мы свели задачу о перпендикулярности прямой и плоскости к сохранению метрических свойств (длин сторон треугольников) и, соответственно, углов. Теорема Пифагора здесь выступает инструментом проверки того, что угол остался прямым после преобразования. Оба вывода согласуются с инвариантностью геометрических отношений при движениях.