ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 757: векторы

План решения. Для доказательства равенства cos²φ₁+cos²φ₂+cos²φ₃=1 удобно использовать метод координат. Так как лучи OA, OB и OC попарно перпендикулярны (∠AOB=∠BOC=∠COA=90^°), мы можем принять их за оси прямоугольной системы координат Oxyz. Пусть направление луча OM задаётся единичным вектором m с координатами (x,y,z). Нам нужно связать косинусы углов между этим вектором и осями координат с его компонентами.

Вычисление. Введём систему координат так, чтобы:

• луч OA совпадал с положительным направлением оси Ox;
• луч OB совпадал с положительным направлением оси Oy;
• луч OC совпадал с положительным направлением оси Oz.

Единичные векторы этих осей: i=(1;0;0), j=(0;1;0), k=(0;0;1). Пусть вектор OM имеет координаты (x;y;z). Поскольку нас интересуют только углы, можно считать, что длина вектора OM равна 1 (или просто рассмотреть направляющие косинусы). Тогда x²+y²+z²=1 для единичного вектора. По определению скалярного произведения, косинус угла между двумя векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению длин. Для единичных векторов это просто соответствующая координата. 1. Угол φ₁ — это угол между OM и OA (ось Ox). cosφ₁=OM·i/|OM|·|i|=x 2. Угол φ₂ — это угол между OM и OB (ось Oy). cosφ₂=OM·j/|OM|·|j|=y 3. Угол φ₃ — это угол между OM и OC (ось Oz). cosφ₃=OM·k/|OM|·|k|=z Таким образом, cosφ₁=x, cosφ₂=y, cosφ₃=z. Подставим эти значения в левую часть доказываемого тождества: cos²φ₁+cos²φ₂+cos²φ₃=x²+y²+z² Из свойства единичного вектора (или из теоремы Пифагора в пространстве для радиуса-вектора) известно, что сумма квадратов координат равна квадрату длины вектора. Если мы рассматриваем направляющие косинусы, то вектор нормирован, и x²+y²+z²=1.

Проверка и вывод. Мы получили, что сумма квадратов косинусов углов наклона произвольного луча к трём взаимно перпендикулярным осям всегда равна единице. Это фундаментальное свойство направляющих косинусов в стереометрии. Логика верна: выбор системы координат корректен благодаря условию перпендикулярности лучей OA,OB,OC. Формула связи координат вектора и косинусов углов с осями применена правильно. Итоговое равенство x²+y²+z²=1 является тождеством для единичного вектора направления. Следовательно, утверждение доказано:

cos²φ₁+cos²φ₂+cos²φ₃=1