ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 753: векторы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка M — центр грани BB_1C_1C. Вычислите угол между векторами
а) A_1D и AM
б) MD и BB_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи удобно ввести прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно a. Разместим начало координат в точке D(0;0;0), ось x направим вдоль DA, ось y — вдоль DC, ось z — вдоль DD1. Тогда координаты вершин будут следующими: A(a;0;0), B(a;a;0), C(0;a;0), D1(0;0;a), A1(a;0;a), B1(a;a;a), C1(0;a;a).
Точка M является центром грани BB1C1C. Эта грань лежит в плоскости y=a. Координаты центра грани равны средним арифметическим координат её вершин (или середины диагонали BC1). Вершины грани: B(a;a;0), C(0;a;0), C1(0;a;a), B1(a;a;a). Центр M имеет координаты (a/2;a;a/2).
Пункт а) Найдем угол между векторами A1D и AM.
- Координаты вектора A1D=D-A1=(0-a;0-0;0-a)=(-a;0;-a).
- Координаты вектора AM=M-A=(a/2-a;a-0;a/2-0)=(-a/2;a;a/2).
Вычислим скалярное произведение этих векторов:
A1D·AM=(-a)·(-a/2)+0·a+(-a)·a/2=a2/2+0-a2/2=0.Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен 90°.
Пункт б) Найдем угол между векторами MD и BB1.
- Координаты вектора MD=D-M=(0-a/2;0-a;0-a/2)=(-a/2;-a;-a/2).
- Координаты вектора BB1=B1-B=(a-a;a-a;a-0)=(0;0;a).
Найдем косинус угла φ по формуле: cosφ=MD·BB1/|MD|·|BB1|.
- Скалярное произведение: MD·BB1=(-a/2)·0+(-a)·0+(-a/2)·a=-a2/2.
- Длина вектора |BB1|=02+02+a2=a.
- Длина вектора |MD|=(-a/2)2+(-a)2+(-a/2)2=a2/4+a2+a2/4=3a2/2=a3/2.
Подставим значения в формулу косинуса:
cosφ=-a2/2/a3/2·a=-1/2/3/2=-1/2·2/3=-1/6≈-0.4082.Угол φ=arccos(-1/6). Так как косинус отрицательный, угол тупой. Вычислим его значение в градусах и минутах. Значение арккосинуса модуля 1/6 составляет примерно 65°54′. Тогда искомый угол равен 180°-65°54′=114°06′.
а) 90°
б) ≈114°06'
Решение выполнено методом координат. В пункте а) скалярное произведение оказалось нулевым, что подтверждает перпендикулярность. В пункте б) получен точный ответ через арккосинус, который численно совпадает с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 753 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 753?
Краткий ответ: а) 90°; б) ≈114°06'.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.