ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 748: метод координат
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения. Для доказательства того, что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, удобно использовать метод координат. Введем прямоугольную систему координат и обозначим вершины тетраэдра как A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x3;y3;z3) и D(x4;y4;z4). Нам нужно найти координаты точки пересечения медиан и проверить отношение отрезков.
Вычисление. Рассмотрим медиану, проведенную из вершины A к грани BCD. Пусть MA — точка пересечения медиан треугольника BCD. Координаты центроида (точки пересечения медиан) треугольника равны среднему арифметическому координат его вершин:
MA(x2+x3+x4/3;y2+y3+y4/3;z2+z3+z4/3) Теперь найдем точку O, которая делит отрезок AMA в отношении 3:1, считая от вершины A. По формуле деления отрезка в заданном отношении (λ=3), координаты точки O вычисляются так:xO=xA+λxMA/1+λ=x1+3·x2+x3+x4/3/4=x1+x2+x3+x4/4 Аналогично для остальных координат: yO=y1+y2+y3+y4/4, zO=z1+z2+z3+z4/4 Таким образом, точка O имеет координаты (x;y;z), где каждое значение является средним арифметическим соответствующих координат всех четырех вершин тетраэдра. Рассмотрим теперь медиану, проведенную из вершины B к грани ACD. Точка пересечения медиан грани ACD будет иметь координаты MB(x1+x3+x4/3;…). Если мы разделим отрезок BMB в отношении 3:1 от вершины B, то получим ту же самую точку с координатами x1+x2+x3+x4/4 и т.д. Это верно для любой из четырех медиан, так как выражение для координат точки деления симметрично относительно всех вершин.Проверка и вывод. Мы показали, что точка, делящая каждую медиану в отношении 3:1 от вершины, имеет одни и те же координаты независимо от того, какую медиану мы рассматриваем. Следовательно, все четыре медианы проходят через одну общую точку O (центроид тетраэдра). Утверждение доказано.
Доказано методом координат: точка пересечения медиан имеет координаты ((x1+/x2+x3+x4); ...), что подтверждает их пересечение в одной точке и деление в отношении 3:1.
Использован векторно-координатный метод. Ключевым моментом является симметрия формулы центроида тетраэдра.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 748 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 748?
Краткий ответ: Доказано методом координат: точка пересечения медиан имеет координаты ( (x_1+x_2+x_3+x_4)4; ...), что подтверждает их пересечение в одной точке и деление в отношении 3:1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.