ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 747: векторы

План решения.

Для нахождения расстояния от точки пересечения медиан (центра тяжести) треугольника до плоскости воспользуемся свойством аффинных преобразований или векторным методом. Если вершины треугольника A, B и C находятся на расстояниях h_A, h_B и h_C от некоторой плоскости β, то расстояние h_M от центра тяжести M до этой плоскости равно среднему арифметическому этих расстояний:

Это следует из того, что координата центра тяжести по любой оси является средним арифметическим соответствующих координат вершин. В данном случае роль такой оси играет направление нормали к плоскости β.

Вычисление.

По условию задачи даны расстояния от вершин до плоскости β:

• h_A=4 дм;
• h_B=5 дм;
• h_C=9 дм.

Проверка и обоснование.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию. Пусть проекции точек A,B,C на плоскость β — это A′,B′,C′. Тогда AA′=4,BB′=5,CC′=9. Точка M — центр тяжести треугольника ABC. Проекция M′ точки M на плоскость β будет центром тяжести треугольника A′B′C′. Расстояние от точки до плоскости можно рассматривать как «высоту» над этой плоскостью. Поскольку функция расстояния до плоскости линейна относительно координат точек пространства, значение этой функции в центре тяжести (который является барицентрической комбинацией вершин с весами 1/3) равно той же барицентрической комбинации значений функции в вершинах. Таким образом, вычисленное значение 6 дм корректно. Ответ совпадает с ориентировочным ключом.