ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 750: векторы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В тетраэдре DABC DA=DB=DC, ADB=45°, BDC=60°. Вычислите угол между векторами
а) DA и BD
б) DB и CB
в) BD и BA.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся определением угла между векторами. Угол между двумя векторами a и b — это угол θ, отложенный от начала одного вектора к концу другого при их параллельном переносе в одну точку (общее начало). Если векторы исходят из разных точек или направлены навстречу друг другу, необходимо использовать свойства смежных углов или разворачивать один из векторов (a=-(-a)).
а) Вычислим угол между векторами DA и BD.
- Вектор BD можно представить как -DB. Таким образом, нам нужно найти угол между DA и -DB.
- По условию, угол ADB=45o. Это угол между векторами DA и DB, исходящими из общей вершины D.
- Угол между вектором DA и противоположным ему по направлению относительно точки D вектором -DB является смежным с углом ADB.
- Следовательно, искомый угол равен 180o-ADB=180o-45o=135o.
б) Вычислим угол между векторами DB и CB.
- Рассмотрим треугольник DBC. По условию DB=DC, значит, треугольник равнобедренный.
- Также дано, что угол BDC=60o. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 60o является правильным (равносторонним).
- Значит, все стороны равны: DB=DC=BC, и все углы равны 60o.
- Нам нужен угол между векторами DB и CB. Перенесём векторы в общее начало. Вектор CB направлен от C к B. Вектор DB направлен от D к B.
- Рассмотрим угол при вершине B в треугольнике DBC. Он равен 60o. Этот угол образован векторами BD и BC, исходящими из точки B.
- Искомые векторы: DB=-BD и CB=-BC.
- Угол между двумя векторами не меняется, если оба вектора развернуть на 180o (то есть заменить на противоположные). Поэтому угол между DB и CB равен углу между BD и BC.
- Угол между BD и BC равен внутреннему углу треугольника при вершине B, то есть 60o.
в) Вычислим угол между векторами BD и BA.
- Оба вектора исходят из одной точки B: BD и BA.
- Следовательно, искомый угол — это просто угол ABD в треугольнике ABD.
- Рассмотрим треугольник ABD. По условию DA=DB, значит, он равнобедренный с основанием AB.
- Угол при вершине D равен ADB=45o.
- Сумма углов треугольника равна 180o. Углы при основании равны: DAB=DBA.
- Вычислим угол при основании: DBA=180o-45o/2=135o/2=67o30′.
- Таким образом, угол между векторами BD и BA равен 67o30′.
а) 135°
б) 60°
в) 67°30'
Задача проверяет понимание определения угла между векторами. Ключевые моменты: 1) Для пункта а) важно заметить, что вектор BD противоположен DB, поэтому угол смежный с ADB. 2) Для пункта б) оба вектора направлены 'к' точке B (или от неё, если развернуть), но так как мы сравниваем DB и CB, то лучше всего увидеть, что DB = -BD и CB = -BC. Угол между (-u) и (-v) равен углу между u и v. Угол между BD и BC — это угол треугольника DBC при вершине B, который равен 60 градусов. 3) Для пункта в) векторы имеют общее начало B, поэтому ищем геометрический угол ABD в равнобедренном треугольнике.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 750 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 750?
Краткий ответ: а) 135°; б) 60°; в) 67°30'.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.