ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 754: векторы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 ∠BAA_1 = ∠BAD = ∠DAA1=60°, AB=AA1=AD=1. Вычислите длины векторов AC_1 и BD_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся методом векторов. Обозначим базисные векторы, исходящие из вершины A: a=AB, b=AD, c=AA1. По условию их модули равны единице: |a|=|b|=|c|=1.
Углы между этими векторами также заданы: ∠(a,b)=60°, ∠(b,c)=60°, ∠(c,a)=60°. Вычислим скалярные произведения пар векторов:
- a·b=|a||b|cos60°=1·1·1/2=1/2
- b·c=|b||c|cos60°=1·1·1/2=1/2
- c·a=|c||a|cos60°=1·1·1/2=1/2
Теперь выразим искомые векторы через базисные и найдем их квадраты длин (скалярный квадрат).
1. Длина вектора AC1
По правилу сложения векторов в параллелепипеде: AC1=AB+BC+CC1=a+b+c.
Найдем квадрат длины этого вектора:
|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caПодставим известные значения (a2=|a|2=1 и т.д.):
|AC1|2=1+1+1+2(1/2)+2(1/2)+2(1/2)=3+1+1+1=6Следовательно, длина вектора AC1 равна 6.
2. Длина вектора BD1
Выразим вектор BD1 через базисные векторы. Заметим, что BD1=BA+AD+DD1. Так как BA=-a, AD=b, а DD1=AA1=c, то:
BD1=-a+b+cНайдем квадрат длины этого вектора:
|BD1|2=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bcОбратите внимание на знаки при удвоенных скалярных произведениях: они зависят от знаков коэффициентов перед векторами в сумме. Здесь -a дает минус с b и минус с c, а +b и +c дают плюс между собой.
Подставим значения:
|BD1|2=1+1+1-2(1/2)-2(1/2)+2(1/2)=3-1-1+1=2Следовательно, длина вектора BD1 равна 2.
\sqrt{6}; \sqrt{2}
Задача решается стандартным методом разложения по базису. Важно аккуратно раскрыть скобки при возведении суммы векторов в квадрат, особенно для второго случая, где один из векторов берется со знаком минус.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 754 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 754?
Краткий ответ: √6; √2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.