ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 755: векторы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Проекция точки M на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой O пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны BC, AC=8, DB=MO=6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой
а) BC
б) DC
в) AC
г) DB.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения косинусов углов между скрещивающимися прямыми удобно использовать метод координат или векторов. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке O (центр ромба). Ось Ox направим вдоль диагонали AC, ось Oy — вдоль диагонали BD, а ось Oz перпендикулярно плоскости ромба вверх. Так как проекция точки M на плоскость совпадает с O, то координаты точки M равны (0;0;6), так как MO=6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам точкой пересечения. AC=8⇒AO=OC=4. Координаты вершин: A(-4;0;0), C(4;0;0). DB=6⇒DO=OB=3. Координаты вершин: D(0;-3;0), B(0;3;0). Точка N — середина стороны BC. Найдём её координаты: xN=xB+xC/2=0+4/2=2 yN=yB+yC/2=3+0/2=1.5 zN=0 Итак, N(2;1.5;0). Вектор MN имеет координаты: MN=(xN-xM;yN-yM;zN-zM)=(2-0;1.5-0;0-6)=(2;1.5;-6). Длина вектора |MN|=22+1.52+(-6)2=4+2.25+36=42.25=6.5=13/2.
Вычисление косинусов углов.
Косинус угла между двумя прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Формула: cosφ=|a·b|/|a|·|b|.
а) Угол с прямой BC. Направляющий вектор прямой BC: BC=C-B=(4-0;0-3;0-0)=(4;-3;0). Длина |BC|=42+(-3)2=16+9=5. Скалярное произведение: MN·BC=2·4+1.5·(-3)+(-6)·0=8-4.5=3.5=7/2. cosα=|3.5|/6.5·5=3.5/32.5=7/2/65/2=7/65.
б) Угол с прямой DC. Направляющий вектор прямой DC: DC=C-D=(4-0;0-(-3);0-0)=(4;3;0). Длина |DC|=42+32=5. Скалярное произведение: MN·DC=2·4+1.5·3+(-6)·0=8+4.5=12.5=25/2. cosβ=|12.5|/6.5·5=12.5/32.5=25/2/65/2=25/65=5/13.
в) Угол с прямой AC. Направляющий вектор прямой AC: AC=(8;0;0) или проще i=(1;0;0). Длина |AC|=8 (или 1 для единичного). Скалярное произведение с AC(8;0;0): MN·AC=2·8+1.5·0+(-6)·0=16. cosγ=|16|/6.5·8=16/52=4/13.
г) Угол с прямой DB. Направляющий вектор прямой DB: DB=B-D=(0;6;0) или проще j=(0;1;0). Длина |DB|=6. Скалярное произведение: MN·DB=2·0+1.5·6+(-6)·0=9. cosδ=|9|/6.5·6=9/39=3/13.
Проверка.
Все полученные значения лежат в диапазоне [0;1], что соответствует косинусам острых углов между прямыми. Результаты совпадают с эталонными ответами учебника. Вычисления проведены корректно с использованием векторного метода.
а) 7/65
б) 5/13
в) 4/13
г) 3/13
Задача решается методом координат. Вводится система координат с центром в O. Находятся координаты точек M, N, B, C, D, A. Строится вектор MN и направляющие векторы прямых BC, DC, AC, DB. Косинус угла вычисляется через скалярное произведение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 755 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 755?
Краткий ответ: а) 765; б) 513; в) 413; г) 313.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.