ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 758: векторы

План решения.

Для нахождения угла между прямой OH и лучом OC воспользуемся методом координат или векторным подходом. Так как прямая OH перпендикулярна плоскости AOB, то угол между OH и любой прямой, лежащей в этой плоскости, равен 90^°. Нам нужно найти проекцию вектора OC на плоскость AOB и использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного вектором OC, его проекцией и отрезком на оси OH.

Вычисление.

Введём систему координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой O, а ось z была направлена вдоль прямой OH. Тогда плоскость AOB является плоскостью xy (z=0).

Пусть единичные векторы направлений лучей OA, OB и OC обозначены как a, b и c. Углы между ними заданы:

• ∠BOA=45^°impliesa·b=cos45^°=2/2;
• ∠BOC=45^°impliesb·c=cos45^°=2/2;
• ∠AOC=60^°impliesa·c=cos60^°=1/2.

Нам нужно найти угол φ между прямой OH (вектор k=(0,0,1)) и лучом OC (вектор c). Косинус этого угла равен модулю скалярного произведения c·k, то есть |c_z|.

Разложим вектор c по базису, связанному с плоскостью AOB. Пусть проекция вектора c на плоскость AOB равна c_proj. Тогда c=c_proj+c_zk.

Так как a и b лежат в плоскости xy, то их скалярные произведения с k равны нулю. Следовательно:

Пусть c_proj=xa+yb. Подставим это выражение в уравнения выше, учитывая, что |a|=|b|=1 и a·b=2/2:

1. x(a·a)+y(b·a)=x+y2/2=1/2
2. x(a·b)+y(b·b)=x2/2+y=2/2

Решим эту систему относительно x и y. Из второго уравнения выразим y: y=2/2-x2/2=2/2(1-x).

Подставим в первое уравнение:

Тогда y=2/2(1-0)=2/2.

Таким образом, проекция вектора c на плоскость AOB равна c_proj=2/2b.

Найдём квадрат длины проекции:

Так как c — единичный вектор (|c|²=1), то из теоремы Пифагора для векторов c=c_proj+c_zk имеем:

Косинус угла φ между прямой OH и вектором c равен |c_z|:

Следовательно, φ=45^°.

Проверка.

Если угол между OH и OC равен 45^°, то проекция OC на плоскость AOB должна иметь длину sin45^°=2/2. Мы получили, что длина проекции равна 2/2. Также проверим углы: если проекция совпадает с направлением OB (так как коэффициент при a равен 0), то угол между проекцией и OB равен 0, а угол между OC и OB должен быть равен углу между OC и её проекцией? Нет, формула связи: cos(∠COB)=cos(∠COH′)·cos(∠H′OB), где H′ — проекция C. Здесь проще: c·b=(c_proj+c_zk)·b=c_proj·b. Так как c_proj=2/2b, то скалярное произведение равно 2/2·1=2/2, что соответствует cos45^°. Аналогично для a: c_proj·a=2/2b·a=2/2·2/2=1/2, что соответствует cos60^°. Все условия выполнены.