ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 762

План доказательства.

Для сравнения углов между плоскостями необходимо использовать определение линейного угла двугранного угла. Линейный угол образуется перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в каждой из граней этого двугранного угла. Зеркальная симметрия сохраняет длины отрезков и величины углов, что является ключевым свойством для данного доказательства.

Ход решения.

Пусть l — линия пересечения плоскости β с плоскостью β₁. Так как зеркальная симметрия относительно плоскости β отображает β на β₁, то любая точка, лежащая на оси симметрии (в данном случае это сама плоскость β), остается на месте. Однако нам важно рассмотреть взаимодействие с плоскостью β. Пусть m — линия пересечения плоскости β с плоскостью β₁. В силу свойств осевой симметрии относительно плоскости, эта линия m лежит в плоскости β и совпадает со своей проекцией.

Рассмотрим произвольную точку A на линии пересечения m=βbigcapβ₁. Проведем в плоскости β луч AB, перпендикулярный линии m, а в плоскости β₁ — луч AC, также перпендикулярный линии m. Угол △BAC является линейным углом двугранного угла между плоскостями β и β₁. Но нам нужно найти углы с плоскостью β.

Давайте уточним постановку задачи согласно указанию: рассмотреть линейные углы двугранных углов, образованных парами (β,β) и (β_1,β). Это тривиально для первой пары (угол 0). Вероятно, в условии опечатка или имеется в виду симметрия относительно другой плоскости? Нет, условие говорит: «При зеркальной симметрии относительно плоскости β...». Если β отображается на β₁, то β и β₁ симметричны относительно β. Это возможно только если β совпадает с β₁ или угол между ними равен 0? Нет, зеркальная симметрия относительно плоскости β оставляет β неподвижной. Следовательно, β₁ должна совпадать с β. Тогда угол △ между β и β равен углу между β и β₁ (то есть 0).

Перечитаем внимательно: «При зеркальной симметрии относительно плоскости β плоскость β отображается на плоскость β₁». Это утверждение математически корректно только если β₁=β. В таком случае угол между β и β равен 0, и угол между β₁ и β равен 0. Доказательство тривиально.

Однако, часто в таких задачах подразумевается симметрия относительно другой плоскости, например, β, которая пересекает β под углом △. Или же речь идет о том, что β и β₁ симметричны относительно некоторой плоскости β, но тогда β не может быть центром симметрии для самой себя, превращаясь в другую плоскость, если только она не инвариантна.

Предположим стандартную интерпретацию задач такого типа: дана плоскость β и плоскость β, образующая с ней угол △. При отражении относительно β плоскость β переходит в β₁. Нужно доказать, что угол между β₁ и β равен △.

1. Пусть l=βbigcapβ. Выберем точку O на линии l. 2. В плоскости β проведем луч OAbotl. В плоскости β проведем луч OBbotl. Угол △AOB равен заданному углу △ между плоскостями β и β. 3. Рассмотрим отражение относительно плоскости β. Точка O лежит на β, поэтому O′=O. Точка B лежит на β, поэтому B′=B. Луч OB переходит в сам себя. 4. Точка A не лежит на β (если △≠0). Пусть A′ — образ точки A при отражении относительно β. По определению отражения, отрезок AA′ перпендикулярен плоскости β и делится ею пополам. 5. Плоскость β₁ проходит через линию l (так как lbotβ? Нет, l лежит в β, значит l инвариантна относительно отражения в β? Да, любая прямая в плоскости отражения остается на месте). Таким образом, линия l принадлежит и β, и β₁. 6. Образом луча OA является луч OA′. Поскольку отражение сохраняет углы и перпендикулярность, то OA′botl (так как OAbotl и l лежит в плоскости отражения). 7. Угол между плоскостями β₁ и β измеряется линейным углом между лучом OA′ (в β₁) и лучом OB (в β), перпендикулярными линии пересечения l. То есть это угол △A′OB. 8. Треугольники AOB и A′OB равны по двум сторонам и углу? Нет. Рассмотрим треугольник ABA′. Он равнобедренный (AB=A′B?), нет. Отражение сохраняет расстояния до точек на оси/плоскости. Расстояние от A до любой точки на β равно расстоянию от A′ до этой точки. В частности, AB=A′B. 9. Также OA=OA′ (отражение сохраняет длину отрезка от точки на плоскости отражения до прообраза и образа). 10. Сторона OB общая. 11. Следовательно, △AOB=△A′OB по трем сторонам (OA=OA′,AB=A′B,OB=OB). 12. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: △AOB=△A′OB. 13. Мы знаем, что △AOB=△. Значит, △A′OB=△. 14. Угол △A′OB является линейным углом двугранного угла между β₁ и β. 15. Следовательно, угол между β₁ и β равен △.

Проверка.

Логика построена на свойствах ортогонального отражения: сохранении длин и перпендикулярности к плоскости отражения. Если бы угол менялся, это нарушило бы изометричность преобразования. Результат согласуется с геометрической интуицией: зеркальное отражение одной грани двугранного угла относительно его биссекторной плоскости (или любой другой) сохраняет величину угла с этой плоскостью-зеркалом, если рассматривать симметрию относительно второй грани? Нет, здесь симметрия относительно β. Угол между β и β был △. После отражения β в β₁, угол между β₁ и β должен остаться тем же, так как конфигурация симметрична относительно β.