ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 765: векторы

План решения.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD. Основание — квадрат со стороной a=AB=62 см. Боковое ребро l=MA=12 см. Для нахождения всех величин нам потребуются следующие элементы: 1. Высота пирамиды H=MO, где O — центр основания (пересечение диагоналей). 2. Апофема боковой грани m=MK, где K — середина стороны основания AD (или любой другой). 3. Половина диагонали основания AO и половина стороны основания AK. Сначала вычислим вспомогательные величины. Диагональ квадрата AC=a2=62·2=12 см. Тогда AO=AC/2=6 см. Высота пирамиды H=MO=MA²-AO²=12²-6²=144-36=108=63 см. Апофема m=MK. В прямоугольном треугольнике MAK (где MK⊥AD) или через треугольник MOK: OK=a/2=32 см. m=MK=MO²+OK²=(63)²+(32)²=108+18=126=314 см. Проверим по другому пути: в △MAK, AK=32, MA=12. MK=12²-(32)²=144-18=126=314 см. Совпадает.

а) Площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна сумме площадей четырёх одинаковых равнобедренных треугольников. S_бок =4·S_△MAD=4·1/2·AD·MK=2·a·m Подставим значения: S_бок =2·62·314=3628=36·27=727 см² .

б) Объём пирамиды.

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту. V=1/3S_осн H Площадь основания S_осн =a²=(62)²=36·2=72 см² . Высота H=63 см. V=1/3·72·63=24·63=1443 см³ .

в) Угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Искомый угол — это угол между апофемой MK и её проекцией на основание OK. Обозначим его α=∠MKO. В прямоугольном треугольнике MOK (∠MOK=90^°): tanα=MO/OK=63/32=23/2=2·3=6. Значит, α=arctg6.

г) Угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Искомый угол — это угол между боковым ребром MA и его проекцией на основание AO. Обозначим его β=∠MAO. В прямоугольном треугольнике MOA (∠MOA=90^°): cosβ=AO/MA=6/12=1/2. Так как косинус угла равен 1/2, то угол равен 60^°.

д) Скалярное произведение векторов (AB+AD)AM.

По правилу параллелограмма для векторов, лежащих в одной плоскости с началом в точке A, сумма AB+AD равна вектору диагонали AC. То есть нужно найти AC·AM. Формула скалярного произведения: u·v=|u||v|cosφ, где φ — угол между векторами. |AC|=12 см (диагональ квадрата). |AM|=12 см (боковое ребро). Угол φ=∠CAM. Это тот же самый угол β, который мы нашли в пункте г), так как O лежит на AC, а M проектируется в O. Значит, ∠CAM=∠OAM=60^°. AC·AM=12·12·cos60^°=144·1/2=72.

е) Площадь сферы, описанной около пирамиды.

Центр описанной сферы Q лежит на прямой высоты MO. Радиус сферы R=QA=QM. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ AC и вершину M. Получаем равнобедренный треугольник MAC с боковыми сторонами MA=MC=12 и основанием AC=12. Этот треугольник является равносторонним! Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной a_tri=12, совпадает с радиусом сферы, так как все вершины пирамиды лежат на этой сфере, а центр сферы лежит на оси симметрии. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности R=a_tri/3=12/3=43 см. Проверка через формулу для пирамиды: Пусть Q находится на высоте MO на расстоянии x от центра O. Тогда QA²=R²=AO²+x²=36+x². Также QM²=R²=(H-x)²=(63-x)². Приравниваем: 36+x²=108-123x+x² 123x=72 x=6/3=23. R²=36+(23)²=36+12=48. R=48=43 см. Всё верно. Площадь сферы S_сф =4πR²=4π·48=192π см².