ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 763: векторы

План решения.

Для доказательства свойств параллельного переноса на вектор p будем использовать определение параллельного переноса и признак параллельности плоскостей. Нам потребуется утверждение о том, что если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны (или совпадают). Также воспользуемся свойством: при параллельном переносе любая прямая отображается в прямую, параллельную ей или совпадающую с ней.

Решение пункта а).

Пусть дана плоскость α, не параллельная вектору p и не содержащая его. Возьмём в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b. При параллельном переносе на вектор p точка A∈a переходит в точку A′, а точка B∈b — в точку B′. Прямая a отображается в прямую a′, проходящую через A′ и параллельную a (так как вектор переноса AA′=p не лежит на прямой a, так как a⊂α и pnot∥α). Аналогично, прямая b отображается в прямую b′, параллельную b.

Так как a и b пересекаются, то их образы a′ и b′ также определяют некоторую плоскость α′. По условию p не параллелен α, значит, точки A и A′ не лежат в одной плоскости с α таким образом, чтобы α′ совпала с α. Более того, поскольку a′∥a и b′∥b, а a и b лежат в α, то по признаку параллельности плоскостей плоскость α′ параллельна плоскости α. Таким образом, плоскость α отображается на параллельную ей плоскость α′.

Решение пункта б).

Пусть дана плоскость β, которая либо параллельна вектору p, либо содержит его. Возьмём произвольную точку M∈β. Её образ M′ получается добавлением вектора p к радиус-вектору точки M, то есть MM′=p.

Если вектор p лежит в плоскости β (содержится в ней), то для любой точки M∈β точка M′=M+p также будет принадлежать плоскости β, так как плоскость замкнута относительно сложения векторов из неё. Значит, β отображается на себя.

Если вектор p параллелен плоскости β, но не лежит в ней, то рассмотрим две пересекающиеся прямые l₁ и l₂ в плоскости β. Их образы l₁′ и l₂′ будут прямыми, параллельными исходным. Так как p∥β, то смещение любой точки плоскости вдоль направления p оставляет её «высоту» над плоскостью неизменной? Нет, здесь нужно быть внимательнее. Если p∥β, то проекция вектора p на нормаль к плоскости равна нулю. Это означает, что все точки M′ лежат в той же плоскости β. Действительно, пусть уравнение плоскости β: Ax+By+Cz+D=0. Вектор нормали n=(A,B,C). Условие параллельности p⊥n означает p·n=0. Для точки M(x,y,z) имеем Ax+By+Cz+D=0. Точка M′(x+p_x,y+p_y,z+p_z). Подставим в уравнение: A(x+p_x)+B(y+p_y)+C(z+p_z)+D=(Ax+By+Cz+D)+(Ap_x+Bp_y+Cp_z)=0+p·n=0. Следовательно, M′∈β. Таким образом, плоскость β отображается на себя.

Проверка.

В пункте а) мы использовали тот факт, что если вектор переноса не параллелен плоскости, то образ плоскости смещается в пространстве, сохраняя ориентацию, то есть остаётся параллельной. В пункте б) мы показали, что если вектор переноса «скользит» вдоль плоскости (параллелен ей или лежит в ней), то каждая точка плоскости переходит в точку той же самой плоскости. Логика верна и согласуется с геометрической интуицией.