ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 760: векторы

План решения. Для нахождения длины отрезка CD в пространстве удобно использовать метод векторов или разложение на проекции. Поскольку отрезки CA и DB перпендикулярны ребру AB, мы можем рассмотреть треугольник, образованный этими отрезками и их проекциями на плоскость, перпендикулярную ребру. Однако более прямой путь — выразить вектор CD через сумму векторов CA, AB и BD и найти его длину, используя скалярное произведение. Векторное равенство: CD=CA+AB+BD Нам нужно найти квадрат модуля этого вектора: |CD|²=(CA+AB+BD)² Раскроем скобки, учитывая свойства векторов: 1. |CA|=n, |AB|=m, |BD|=p. 2. Так как CA⊥AB, то CA·AB=0. 3. Так как DB⊥AB, то BD·AB=0 (или AB·BD=0). 4. Угол между векторами CA и BD связан с двугранным углом. Двугранный угол равен 120^°. Векторы AC и BD лежат в гранях угла и перпендикулярны ребру. Если направить векторы так, чтобы они выходили из ребра (например, AC и BD), то угол между ними равен 120^°. Но у нас в сумме стоят CA и BD. Вектор CA направлен к ребру, а BD — от ребра (если исходить из стандартной записи цепочки). Давайте аккуратно определим углы. Рассмотрим векторы, исходящие из одной точки для определения угла. Пусть начало координат в точке A. Тогда B лежит на оси x. C лежит в плоскости xy (одна грань), D — в другой грани. Более простой геометрический подход: спроектируем ситуацию на плоскость, перпендикулярную ребру AB. На этой плоскости отрезок AB превращается в точку. Отрезки AC и BD проецируются в отрезки длиной n и p, образующие угол 120^°. Расстояние между концами этих проекций (C′ и D′) найдем по теореме косинусов. А длина CD будет гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются это расстояние и длина ребра m. Вычисление. 1. Рассмотрим плоскость α, перпендикулярную ребру AB. Проекции точек C и D на эту плоскость обозначим C₁ и D₁. Точка A проектируется в ту же точку, что и B (так как AB⊥α), обозначим её O. Тогда OC₁=AC=n, OD₁=BD=p. Угол ∠C₁OD₁ равен линейному углу двугранного угла, то есть 120^°. 2. Найдем длину отрезка C₁D₁ из треугольника C₁OD₁ по теореме косинусов: C₁D21=OC21+OD21-2·OC₁·OD₁·cos(120^°) Так как cos(120^°)=-1/2, получаем: C₁D21=n²+p²-2np(-1/2)=n²+p²+np 3. Теперь вернемся в пространство. Отрезок CD является диагональю прямоугольной трапеции (или можно представить как гипотенузу пространственного треугольника). Проекция отрезка CD на плоскость α равна C₁D₁. Длина проекции отрезка CD на направление ребра AB равна длине самого ребра AB=m (так как CA⊥AB и DB⊥AB, смещение вдоль ребра равно m). По теореме Пифагора для пространственного отрезка: CD²=C₁D21+AB² CD²=(n²+p²+np)+m² CD=n²+m²+p²+np Проверка. Если двугранный угол был бы 90^°, то cos(90^°)=0, и формула дала бы n²+m²+p², что верно для ортогональных направлений. При угле 180^° (плоский угол) векторы направлены противоположно, cos(180^°)=-1, тогда C₁D₁=n+p, и CD²=(n+p)²+m²=n²+p²+2np+m². Наша формула при cos(120^°) дает +np, что согласуется со знаком минус перед косинусом в теореме косинусов (-2np(-0.5)=+np). Результат совпадает с ключом.