ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 759: векторы

План решения.

Для нахождения косинуса угла ∠CAD воспользуемся методом координат или теоремой о трёх перпендикулярах (в обобщённом виде для пространственных углов). Удобнее всего ввести прямоугольную систему координат с началом в точке A. Пусть ребро двугранного угла AB совпадает с осью Oz. Так как AC⊥AB, то луч AC лежит в плоскости xOy (или параллельной ей). Плоскость грани CAB можно принять за плоскость xOz (так как AC⊥AB и AB — ось z, то AC направлен вдоль оси x). Тогда вторая грань DAB образует с первой двугранный угол φ. Нам нужно найти угол между векторами AC и AD.

Вычисление.

Введём единичные векторы. Пусть |AC|=1 и |AD|=1 (так как нас интересует только направление, длина не важна).

1. Разместим точку A в начале координат (0;0;0).
2. Пусть ребро AB направлено по оси Oz. Вектор AB=(0;0;1).
3. Так как AC⊥AB, вектор AC лежит в плоскости xy. Для простоты направим его по оси Ox. Тогда координаты вектора AC=(1;0;0).
4. Теперь определим координаты вектора AD. Известно, что ∠DAB=θ. Это означает, что угол между вектором AD и осью Oz равен θ. Следовательно, проекция вектора AD на ось Oz равна cosθ, а длина проекции на плоскость xy равна sinθ.
5. Двугранный угол при ребре AB равен φ. Это угол между полуплоскостями ABC и ABD. Поскольку плоскость ABC совпадает с плоскостью xz (где y=0), а нормаль к ней — это ось Oy, то положение второй грани определяется углом φ относительно первой. Вектор AD лежит в плоскости, проходящей через ось Oz под углом φ к плоскости Oxz.

Давайте уточним координаты AD. Вектор AD имеет длину 1. Его проекция на ось z равна cosθ. Проекция на плоскость xy имеет длину sinθ. Эта проекция лежит в плоскости xy. Угол между этой проекцией и осью x (которая является линией пересечения плоскости xy с гранью CAB, если бы мы рассматривали сечение) связан с двугранным углом.

Более строгий подход: рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной ребру AB в некоторой точке K. Но проще использовать формулу для косинуса пространственного угла.

Существует известная формула связи углов в тригранном угле (угол при вершине A, образованный лучами AB,AC,AD):

Где φ — двугранный угол при ребре AB.

Подставим данные из условия:

• ∠CAB=90^°, так как AC⊥AB. Значит, cos∠CAB=0, sin∠CAB=1.
• ∠DAB=θ. Значит, cos∠DAB=cosθ, sin∠DAB=sinθ.
• Двугранный угол при ребре AB равен φ.

Подставляем в формулу:

Проверка.

Рассмотрим частный случай. Если θ=90^°, то AD⊥AB. Тогда оба луча AC и AD перпендикулярны ребру AB. В этом случае угол ∠CAD равен линейному углу двугранного угла, то есть φ. Формула даёт: cos∠CAD=sin90^°cosφ=1·cosφ=cosφ. Совпадает.

Если φ=0, то грани совпадают. Тогда ∠CAD=|90^°-θ| или 90^°+θ? Нет, если грани совпадают, то AC и AD лежат в одной плоскости, перпендикулярной AB? Нет, AC⊥AB. Если φ=0, то плоскость DAB совпадает с CAB. Тогда ∠CAD=|∠CAB-∠DAB|=|90^°-θ|. Косинус этого угла: cos(90^°-θ)=sinθ. Формула даёт: sinθcos0=sinθ. Совпадает.

Ответ получен верно.