ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 756: векторы

План решения.

Для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью удобно использовать метод координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке D. Оси направим так: ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC, ось Oz вдоль ребра DD₁. Пусть длина ребра куба равна a. Для простоты вычислений можно принять a=5, чтобы избежать дробей при делении отрезков в отношениях 3:2 и 2:3. Тогда координаты вершин будут целыми числами.

Вычисление координат точек и векторов.

При a=5 имеем следующие координаты:

• D(0;0;0)
• A(5;0;0), B(5;5;0), C(0;5;0)
• D₁(0;0;5), A₁(5;0;5), B₁(5;5;5), C₁(0;5;5)

Точка M лежит на ребре BB₁. Ребро BB₁ параллельно оси Oz. Координаты проекции точки M на плоскость xy совпадают с координатами точки B: x_M=5,y_M=5. Так как BM:MB₁=3:2, то BM=3/5BB₁=3/5·5=3. Следовательно, z_M=3. Координаты точки M: (5;5;3).

Точка N лежит на ребре AD. Ребро AD лежит на оси Ox. Координаты y_N=0,z_N=0. Так как AN:ND=2:3, то ND=3/5AD=3/5·5=3. Точка N находится на расстоянии 3 от начала координат D по оси Ox. Следовательно, x_N=3. Координаты точки N: (3;0;0).

Найдём вектор MN:

Длина вектора MN:

а) Угол с плоскостью грани DD₁C₁C.

Плоскость грани DD₁C₁C совпадает с плоскостью yz (так как она проходит через точки D(0;0;0),D₁(0;0;5),C₁(0;5;5),C(0;5;0)). Нормальным вектором к этой плоскости является вектор n₁=(1;0;0), направленный вдоль оси Ox.

Синус угла α между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости:

Вычислим скалярное произведение:

Подставим значения:

б) Угол с плоскостью грани A₁B₁C₁D₁.

Плоскость грани A₁B₁C₁D₁ параллельна плоскости xy и проходит через точку с координатой z=5. Нормальным вектором к этой плоскости является вектор n₂=(0;0;1), направленный вдоль оси Oz.

Аналогично используем формулу для синуса угла β:

Вычислим скалярное произведение:

Подставим значения:

Проверка.

Результаты не зависят от выбранного размера ребра куба a, так как отношение длин сохраняется. Если бы мы взяли общее a, то координаты были бы M(a;a;3/5a) и N(3/5a;0;0). Вектор MN=(-2/5a;-a;-3/5a). Его длина a/54+25+9=a38/5. Проекция на ось x (для пункта а) равна 2a/5, синус 2a/5/a38/5=2/38. Проекция на ось z (для пункта б) равна 3a/5, синус 3a/5/a38/5=3/38. Ответы совпадают с ключом.