ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 752: векторы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Вычислите косинус угла между прямыми AB и CD, если
а) A(7; -8; 15), B(8; -7; 13), C(2; -3; 5), D(-1; 0; 4)
б) A(8; -2; 3), B(3; -1; 4), C(5; -2; 0), D(7; 0; -2).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для вычисления косинуса угла между двумя прямыми в пространстве необходимо найти направляющие векторы этих прямых и воспользоваться формулой скалярного произведения. Косинус угла θ между векторами u и v равен модулю их скалярного произведения, деленному на произведение длин этих векторов: cosθ=|u·v|/|u|·|v|
а) Даны точки A(7;-8;15), B(8;-7;13), C(2;-3;5), D(-1;0;4).
Найдем координаты вектора AB:
AB=(8-7;-7-(-8);13-15)=(1;1;-2).
Найдем координаты вектора CD:
CD=(-1-2;0-(-3);4-5)=(-3;3;-1).
Вычислим скалярное произведение AB·CD:
1·(-3)+1·3+(-2)·(-1)=-3+3+2=2.
Вычислим длины векторов:
|AB|=12+12+(-2)2=1+1+4=6.
|CD|=(-3)2+32+(-1)2=9+9+1=19.
Косинус угла:
cosθ=|2|/6·19=2/114.
б) Даны точки A(8;-2;3), B(3;-1;4), C(5;-2;0), D(7;0;-2).
Найдем координаты вектора AB:
AB=(3-8;-1-(-2);4-3)=(-5;1;1).
Найдем координаты вектора CD:
CD=(7-5;0-(-2);-2-0)=(2;2;-2).
Вычислим скалярное произведение AB·CD:
(-5)·2+1·2+1·(-2)=-10+2-2=-10.
Вычислим длины векторов:
|AB|=(-5)2+12+12=25+1+1=27=33.
|CD|=22+22+(-2)2=4+4+4=12=23.
Косинус угла:
cosθ=|-10|/33·23=10/6·3=10/18=5/9.
а) 2/114
б) 5/9
В пункте а) ключ учебника содержит опечатку или ошибку округления/записи, так как при точном расчете получается 2/114. В пункте б) результат совпадает с ключом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 752 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 752?
Краткий ответ: а) 2√114; б) 59.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.