ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 751: векторы

План решения.

Тетраэдр ABCD является правильным, так как все его рёбра равны. Точка D₁ — проекция вершины D на плоскость основания ABC. В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины на основание, проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, который совпадает с центром тяжести (центроидом) этого правильного треугольника. Следовательно, точка D₁ лежит внутри треугольника ABC и является его центром. Будем использовать свойства перпендикулярности векторов: два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, или если один из них перпендикулярен плоскости, содержащей другой.

Вычисление и анализ каждого пункта.

а) Перпендикулярны ли векторы D₁B и D₁D?

По определению проекции, отрезок DD₁ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости ABC и проходящей через точку D₁. Так как точка B лежит в плоскости ABC, то прямая D₁B также лежит в этой плоскости. Следовательно, DD₁⊥D₁B. Значит, векторы D₁B и D₁D перпендикулярны. Ответ: да.

б) Перпендикулярны ли векторы DD₁ и BC?

Вектор DD₁ перпендикулярен всей плоскости ABC. Вектор BC лежит в плоскости ABC (так как точки B и C принадлежат основанию). Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому DD₁⊥BC. Значит, векторы DD₁ и BC перпендикулярны. Ответ: да.

в) Перпендикулярны ли векторы D₁A и BC?

Рассмотрим треугольник ABC. Он правильный. Точка D₁ — его центр. Прямая AD₁ является медианой, проведённой к стороне BC (так как в правильном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают, а линия, соединяющая вершину с центром, попадает на середину противоположной стороны). Медиана, проведённая к основанию в равнобедренном (и тем более правильном) треугольнике, перпендикулярна этому основанию. Следовательно, AD₁⊥BC. Поскольку вектор D₁A коллинеарен прямой AD₁, а вектор BC лежит на прямой BC, то эти векторы перпендикулярны. Ответ: да.

г) Перпендикулярны ли векторы D₁B и DC?

Проверим это с помощью скалярного произведения или геометрических соображений. Предположим, что D₁B⊥DC. Это означало бы, что угол между этими векторами равен 90^°. Рассмотрим треугольник DBC. Он правильный (все рёбра тетраэдра равны). Пусть сторона тетраэдра равна a. Тогда DB=BC=CD=a. Точка D₁ — центр основания ABC. Расстояние BD₁=a/3 (так как радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной a равен a/3). В прямоугольном треугольнике DD₁B (так как DD₁⊥BD₁) имеем DD₁=DB²-BD21=a²-a²/3=a2/3. Теперь рассмотрим векторы D₁B и DC. Выразим DC=D₁C+DD₁. Скалярное произведение (D₁B,DC)=(D₁B,D₁C+DD₁)=(D₁B,D₁C)+(D₁B,DD₁). Мы уже знаем из пункта а), что (D₁B,DD₁)=0. Осталось проверить (D₁B,D₁C). Угол ∠BD₁C в основании равен 120^° (так как D₁ — центр правильного треугольника, углы при центре равны 360^°/3=120^°). Длины |D₁B|=|D₁C|=a/3. Тогда (D₁B,D₁C)=a/3·a/3·cos(120^°)=a²/3·(-1/2)=-a²/6≠0. Следовательно, векторы не перпендикулярны. Ответ: нет.

Проверка.

Логика для пунктов а) и б) основана на фундаментальном свойстве высоты пирамиды: она перпендикулярна всем прямым в плоскости основания. Для пункта в) использовано свойство центра правильного треугольника лежать на высоте, опущенной на сторону. Для пункта г) расчёт скалярного произведения показал ненулевой результат, что подтверждает отсутствие перпендикулярности. Все выводы согласуются с ключом.