ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 771

План доказательства.

Обозначим тетраэдр как ABCD. Пусть плоскость проходит через ребро AB и делит двугранный угол при этом ребре пополам. Эта плоскость пересекает противоположное ребро CD в точке M. Нам нужно доказать, что CM/MD=S_ABC/S_ABD, где S_ABC и S_ABD — площади граней, образующих данный двугранный угол.

Идея решения заключается в том, чтобы выразить объёмы двух новых тетраэдров (ACBM и ADBM) двумя способами: через высоты к основанию ABM и через расстояния от вершин C и D до грани ABM. Поскольку плоскость ABM является биссекторной, расстояния от точек C и D до этой плоскости связаны с их положением относительно граней ABC и ABD.

Вычисление.

Рассмотрим объём тетраэдра ABCD. Плоскость ABM разбивает его на два тетраэдра: V₁=V_ABCM и V₂=V_ABDM. 1. Выразим отношение объёмов V₁ и V₂ через длины отрезков на ребре CD. Тетраэдры ABCM и ABDM имеют общее основание ABM. Их вершины C и D лежат на одной прямой CD, которая пересекает плоскость основания в точке M. Следовательно, высоты этих тетраэдров, опущенные из вершин C и D на плоскость ABM, относятся так же, как расстояния от вершин до точки пересечения M вдоль секущей прямой (или проще: если рассмотреть проекции на прямую, перпендикулярную ABM, то отношение высот равно CM/MD). Более строго: пусть h_C и h_D — расстояния от точек C и D до плоскости ABM. Тогда: V₁/V₂=1/3S_ABMh_C/1/3S_ABMh_D=h_C/h_D Так как C,M,D коллинеарны, а M лежит в плоскости ABM, то из подобия прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами к плоскости и отрезками на прямой CD, следует, что h_C/h_D=CM/MD. Таким образом, V₁/V₂=CM/MD. 2. Теперь выразим те же объёмы V₁ и V₂ другим способом, используя грани ABC и ABD как основания. Рассмотрим тетраэдр ABCM как тетраэдр с основанием ABC и вершиной M. Пусть d_M — расстояние от точки M до плоскости грани ABC. Тогда V₁=1/3S_ABCd_M. Аналогично, рассмотрим тетраэдр ABDM как тетраэдр с основанием ABD и вершиной M. Пусть d′_M — расстояние от точки M до плоскости грани ABD. Тогда V₂=1/3S_ABDd′_M. Отсюда отношение объёмов: V₁/V₂=1/3S_ABCd_M/1/3S_ABDd′_M=S_ABC/S_ABDd_M/d′_M 3. Используем условие о биссекторной плоскости. Точка M лежит на плоскости, которая делит двугранный угол при ребре AB пополам. По свойству биссекторной плоскости двугранного угла, любая точка этой плоскости равноудалена от граней, образующих этот угол. Следовательно, расстояние от точки M до грани ABC равно расстоянию от точки M до грани ABD, то есть d_M=d′_M. Подставляя это равенство в формулу отношения объёмов, получаем: V₁/V₂=S_ABC/S_ABD 4. Приравниваем два полученных выражения для отношения объёмов: CM/MD=S_ABC/S_ABD

Проверка и вывод.

Мы показали, что отношение отрезков, на которые точка пересечения делит противоположное ребро, равно отношению объёмов частей тетраэдра. Это же отношение объёмов оказалось равным отношению площадей граней, образующих двугранный угол, благодаря тому, что высота из общей вершины M на эти грани одинакова (так как M лежит на биссекторе). Логика непротиворечива и использует только стандартные формулы объёма пирамиды и свойства биссекторных плоскостей. Утверждение доказано.