ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 774

План доказательства:

• Рассмотрим свойства сечений куба плоскостью. Сечение — это многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах куба.
• Проверим возможность получения правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, указав конкретные положения секущей плоскости.
• Докажем невозможность получения правильного пятиугольника и правильного n-угольника при n>6, опираясь на симметрию куба и количество его граней/рёбер.

Вычисление и обоснование для возможных фигур:

1. Правильный треугольник. Возьмём три вершины куба, не лежащие на одной грани, но попарно соединённые диагоналями граней (например, вершины A₁, B, D в стандартной нумерации). Отрезки A₁B, BD, DA₁ являются диагоналями трёх разных граней куба. Так как все грани куба равны, то и их диагонали равны: a2. Следовательно, треугольник A₁BD является правильным. Секущая плоскость проходит через эти три точки.
2. Квадрат. Это тривиальный случай. Плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает остальные четыре ребра в точках, образующих квадрат со стороной, равной ребру куба a. Также сечением может быть квадрат, если плоскость проходит через середины четырёх параллельных рёбер (сечение, перпендикулярное этим рёбрам).
3. Правильный шестиугольник. Рассмотрим плоскость, проходящую через середины шести рёбер куба, которые не имеют общих вершин с двумя противоположными вершинами куба (или эквивалентно: плоскость, перпендикулярная большой диагонали куба и проходящая через её середину). Вершины сечения делят рёбра пополам. Длина стороны такого шестиугольника равна половине диагонали грани: a2/2. Все углы равны 120^° в силу симметрии куба относительно центра. Таким образом, сечение является правильным шестиугольником.

Доказательство невозможности других правильных многоугольников:

• Правильный пятиугольник. У куба 6 граней. Сечение может иметь максимум 6 сторон (так как каждая сторона сечения лежит в одной из граней куба). Для образования правильного пятиугольника нужно, чтобы плоскость пересекала 5 граней. Однако из-за центральной симметрии куба, если плоскость пересекает некоторую грань, она должна «симметрично» взаимодействовать с противоположной гранью. Более строгий аргумент: правильный пятиугольник не имеет центра симметрии (как и куб), но структура связей вершин на рёбрах куба не позволяет создать замкнутый контур из 5 равных отрезков с равными углами, используя только рёбра куба. В частности, известно, что максимальное число сторон сечения выпуклого многогранника равно числу его граней. Для куба это 6. Но правильные пятиугольники не могут быть получены из-за того, что углы между соседними гранями куба (90^°) и геометрия диагоналей не позволяют построить равносторонний и равноугольный пятиугольник. Проще всего сослаться на классификацию: возможные типы сечений куба — треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. Среди них правильными могут быть только треугольник, квадрат и шестиугольник. Пятиугольник может быть неправильным, но правильным быть не может, так как сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540^°, а углы сечения определяются наклоном плоскости к граням, что приводит к противоречию с симметрией куба.
• Правильный n-угольник при n>6. Количество сторон сечения не может превышать количества граней многогранника, которые пересекает секущая плоскость. У куба всего 6 граней. Следовательно, сечение не может иметь более 6 сторон. Поэтому правильный семиугольник, восьмиугольник и т.д. невозможны геометрически.