ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 777: метод координат

Для решения задачи о кратчайшем пути на поверхности многогранника стандартным методом является построение развёртки. Нам нужно найти путь от середины ребра до наиболее удалённой вершины куба. Поскольку паук и муха находятся на разных гранях или их положение требует перехода через несколько граней, прямой путь по пространству невозможен (паук движется только по стенам/полу/потолку). Мы должны «развернуть» грани куба в одну плоскость так, чтобы начальная точка (паук) и конечная точка (муха) оказались соединены прямой линией.

Рассмотрим геометрию задачи. Пусть длина ребра куба равна a. Паук находится в середине ребра, значит его координата вдоль этого ребра равна a/2. Муха находится в вершине, максимально удалённой от паука. В кубе из любой точки есть несколько путей к противоположным вершинам. Наиболее удалённая вершина от середины ребра — это вершина, не имеющая общих граней с тем ребром, где сидит паук, либо находящаяся на максимальном расстоянии по метрике поверхности. При развертке двух смежных граней, через которые проходит путь, мы получаем прямоугольник. Если паук сидит на ребре, разделяющем две грани, а муха — на противоположной стороне этих граней, то при развертке этих двух граней в один прямоугольник размером a×2a (или аналогичной конфигурации), расстояние вычисляется по теореме Пифагора.

Однако, более точный анализ показывает следующее: пусть паук сидит на вертикальном ребре. Муха сидит в верхней дальней вершине. Чтобы попасть туда, паук может пойти через потолок или через стену. Рассмотрим вариант движения через две смежные боковые стены. Если развернуть эти две стены в одну плоскость, они образуют прямоугольник шириной 2a и высотой a. Но паук сидит на границе этих стен (в середине общего ребра). Это упрощает задачу: ему нужно пройти по одной стене или по другой? Нет, если муха в самой дальней вершине относительно паука, то она находится на диагонально противоположном углу куба. Расстояние по поверхности от середины ребра до противоположной вершины минимально, когда путь проходит через две грани. Развернем эти две грани. Получим прямоугольный треугольник, где один катет равен длине ребра a, а второй катет равен сумме половины ребра (от паука до угла) и целого ребра (до мухи)? Нет. Давайте аккуратно. Паук в середине ребра AB. Муха в вершине C′, которая не имеет общих граней с ребром AB? В кубе каждая вершина имеет общие грани с большинством ребер. Самая удаленная вершина от середины ребра — это вершина, не инцидентная этому ребру и не лежащая на гранях, содержащих это ребро? Нет, все вершины лежат на гранях. Максимальное расстояние по поверхности от середины ребра до вершины достигается для вершин, не принадлежащих данному ребру и не являющихся концами соседних ребер на той же грани? Проще всего рассмотреть симметрию. От середины ребра до ближайших вершин расстояние a/2. До вершин на той же грани, но не связанных с этим ребром напрямую, расстояние больше. До противоположной вершины куба (не связанной ни одним общим ребром с данным) расстояние максимально. Для такой вершины кратчайший путь лежит на развертке трех граней или двух? На самом деле, достаточно развернуть две грани, примыкающие к ребру, на котором сидит паук, и третью грань, содержащую муху? Нет. Кратчайший путь от середины ребра до противоположной вершины проходит через две грани. Представим развертку: мы раскрываем две грани, которые пересекаются в ребре, где сидит паук? Нет, паук сидит НА ребре. Значит, он может уйти на любую из двух граней, сходящихся в этом ребре. Муха находится на вершине, которая является общей для двух других граней. Оптимальная развертка включает три грани? Или две? Если взять две грани, сходящиеся в ребре паука, и развернуть их в одну плоскость, то муха будет находиться далеко. Лучше рассмотреть путь через одну грань, содержащую ребро паука, и соседнюю грань, содержащую муху. Пусть паук в точке M на ребре AA₁. Муха в вершине C. Вершина C не связана с ребром AA₁ общими гранями? Ребро AA₁ принадлежит граням ABB₁A₁ и ADD₁A₁. Вершина C принадлежит граням BCC₁B₁ и CDD₁C₁. Эти грани не имеют общих ребер с гранями паука напрямую, кроме как через другие грани. Путь должен пересекать хотя бы одно промежуточное ребро. Минимальный путь обычно проходит через две грани. Например, через грань ABB₁A₁ и грань BCC₁B₁. Развернем эти две грани в один прямоугольник 2a×a. Паук сидит на левом краю этого прямоугольника (ребро AA₁) на высоте a/2. Муха сидит в правом верхнем углу (вершина C₁?) или нижнем (C?). Вершина C на развертке этих двух граней будет в точке (2a,0) или (2a,a) в зависимости от ориентации. Расстояние от (0,a/2) до (2a,0) равно rac(2a)²+(a/2)²=4a²+a²/4=a17/2. А если пойти через три грани? Или через другую пару? Есть симметричный вариант. Однако, классическое решение этой задачи предполагает, что паук должен двигаться по прямой линии на развертке куба, проходящей через две смежные грани. Указание учебника «рассмотреть развёртку куба» подтверждает этот метод. Паук должен выбрать направление так, чтобы пересечь одно из ребер, исходящих из конца того ребра, на котором он сидит, и затем двигаться к мухе. Конкретно: паук двигается по прямой линии на развертке, состоящей из двух граней, примыкающих к ребру паука, или одной грани паука и следующей за ней. Самый короткий путь соответствует прямой на развертке, соединяющей точку паука и точку мухи.