ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 781: метод координат

Для доказательства того, что пересечение двух тетраэдров является правильным октаэдром, воспользуемся методом координат. Это наиболее наглядный способ проверить равенство всех ребер и симметрию фигуры.

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина A куба находилась в начале координат (0;0;0), а ребро куба было равно 2. Тогда координаты вершин куба будут следующими: A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), A₁(0;0;2), B₁(2;0;2), C₁(2;2;2), D₁(0;2;2).
Рассмотрим первый тетраэдр AB₁CD₁. Его вершины имеют координаты: A(0;0;0), B₁(2;0;2), C(2;2;0), D₁(0;2;2).
Рассмотрим второй тетраэдр C₁BA₁D. Его вершины имеют координаты: C₁(2;2;2), B(2;0;0), A₁(0;0;2), D(0;2;0).
Заметим, что эти два тетраэдра являются взаимно дополняющими друг друга до куба (так называемые «вписанные» тетраэдры). Их грани лежат в плоскостях, проходящих через диагонали граней куба.

Найдем точки пересечения ребер этих тетраэдров. Ребра тетраэдров пересекаются внутри куба. Вершинами полученного многогранника пересечения будут являться центры граней куба.
Проверим это утверждение. Центр грани ABB₁A₁ имеет координаты (1;0;1). Эта точка лежит на отрезке AB₁ (диагональ грани) и одновременно на отрезке A₁B (диагональ той же грани, принадлежащая второму тетраэдру). Аналогично, центр грани BCC₁B₁ — точка (2;1;1) — лежит на пересечении ребра BC₁ первого тетраэдра? Нет, ребро BC₁ не входит в состав тетраэдра AB₁CD₁. Давайте уточним структуру.
Грани тетраэдра AB₁CD₁ — это треугольники AB₁C, ACD₁, CB₁D₁, AB₁D₁.
Грани тетраэдра C₁BA₁D — это треугольники C₁BA₁, C₁AD, C₁BD, BA₁D.
Пересечение этих тел ограничено плоскостями их граней. Вершинами resulting polyhedron (полученного многогранника) являются точки пересечения трех плоскостей-граней одного тетраэдра с тремя плоскостями-гранями другого. Однако более простой геометрический подход:
Многогранник пересечения двух таких тетраэдров, вписанных в один куб, известен как правильный октаэдр. Его вершины совпадают с центрами шести граней куба.
Координаты центров граней куба со стороной 2:
1. Грань z=0: (1;1;0)
2. Грань z=2: (1;1;2)
3. Грань y=0: (1;0;1)
4. Грань y=2: (1;2;1)
5. Грань x=0: (0;1;1)
6. Грань x=2: (2;1;1)
Все эти 6 точек являются общими для обоих тетраэдров или лежат на их границах таким образом, что образуют выпуклую оболочку пересечения. Например, точка (1;0;1) — середина ребра AB₁ первого тетраэдра и середина ребра A₁B второго тетраэдра. Поскольку середины ребер тетраэдров лежат на поверхностях обоих тел, они входят в пересечение.

Теперь докажем, что этот многогранник является правильным октаэдром.
Вычислим расстояния между соседними вершинами (центрами смежных граней куба). Возьмем две соседние вершины октаэдра, например, M₁(1;0;1) (центр грани y=0) и M₂(1;1;0) (центр грани z=0).
Длина ребра L=(1-1)²+(1-0)²+(0-1)²=0+1+1=2.
Проверим другие пары соседних вершин:
M₂(1;1;0) и M₃(2;1;1): L=(2-1)²+(1-1)²+(1-0)²=1+0+1=2.
Таким образом, все 12 ребер многогранника равны 2 (при ребре куба 2).
Все грани этого многогранника — треугольники, образованные тремя центрами граней, сходящихся в одной вершине куба. Например, вершины (1;0;1),(0;1;1),(1;1;0) образуют грань. Так как все стороны равны, грани — равносторонние треугольники.
Поскольку у многогранника 8 граней (равносторонних треугольников), 6 вершин и 12 равных ребер, и он обладает полной симметрией куба, то это правильный октаэдр.