ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 780
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба с ребром 1 см?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы найти наибольшую длину ребра правильного тетраэдра, помещающегося в куб с ребром a=1 см, нужно рассмотреть максимальный размер тетраэдра, который может быть вписан в этот куб. Известно, что правильный тетраэдр можно вписать в куб так, чтобы его вершины совпадали с четырьмя из восьми вершин куба (так называемый «вписанный тетраэдр»). В этом случае ребра тетраэдра являются диагоналями граней куба. Также можно использовать указание о сфере: радиус сферы, описанной около куба, должен быть не меньше радиуса сферы, описанной около тетраэдра. Однако наиболее прямой путь — геометрическое построение внутри куба.
Вычисление.
Рассмотрим куб с ребром a=1. Вершины правильного тетраэдра, вписанного в куб таким образом, что он занимает максимальный объем и имеет максимальные линейные размеры, выбираются как четыре вершины куба, никакие две из которых не лежат на одном ребре куба. Например, если координаты вершин куба (0,0,0) до (1,1,1), то вершинами тетраэдра могут быть точки: A(0,0,0), B(1,1,0), C(1,0,1), D(0,1,1) Длина ребра такого тетраэдра равна расстоянию между любыми двумя из этих точек. Вычислим расстояние AB: AB=(1-0)2+(1-0)2+(0-0)2=12+12+02=2 Аналогично для других пар вершин: AC=(1-0)2+(0-0)2+(1-0)2=2 AD=(0-0)2+(1-0)2+(1-0)2=2 Таким образом, ребро тетраэдра равно диагонали грани куба. Проверим по методу сферы, указанному в подсказке. Радиус сферы, описанной около куба с ребром a, равен половине пространственной диагонали куба: Rкуба =a3/2=3/2 Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром x, равен: Rтетр =x6/4 Если тетраэдр помещается в куб, то он помещается и в описанную около куба сферу. Значит, Rтетр ≤Rкуба: x6/4≤3/2 x≤43/26=2/2=2 Максимальное значение x=2 достигается при вписании тетраэдра в куб, как показано выше.
Ответ и проверка.
Наибольшая длина ребра правильного тетраэдра, помещающегося в куб с ребром 1 см, равна 2 см. Это значение соответствует длине диагонали грани куба. Тетраэдр с таким ребром действительно помещается внутрь куба, занимая его часть, а его вершины лежат на вершинах куба. Любое увеличение ребра привело бы к выходу вершин за пределы куба или сферы, описанной вокруг него.
\sqrt{2}
Задача сводится к нахождению максимального размера правильного тетраэдра в кубе. Стандартный результат: ребро такого тетраэдра равно диагонали грани куба (a2). Для a=1 ответ 2. Метод через сравнение радиусов описанных сфер подтверждает этот предел.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 780 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 780?
Краткий ответ: √2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.