ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 782

План доказательства.

Будем рассуждать методом от противного. Предположим, что из конечного числа попарно различных кубов можно составить прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим одну из граней этого параллелепипеда. На этой грани примыкает к ней несколько кубов (так как они заполняют объём). Среди всех кубов, которые имеют общую часть с выбранной гранью, выберем тот, который имеет наименьший размер ребра. Обозначим его ребро за a.

Ход вычисления и логический анализ.

Рассмотрим положение выбранного наименьшего куба относительно других кубов на данной грани. Этот куб занимает некоторую площадь на грани. Поскольку все кубы различны, то любой другой куб, примыкающий к этому наименьшему кубу сбоку (в пределах той же грани), должен иметь ребро строго больше a. Пусть такой соседний куб имеет ребро b, где b>a.

Теперь посмотрим на место над этим наименьшим кубом. Так как мы выбрали наименьший куб среди тех, что касаются грани, то любой куб, стоящий непосредственно над ним (по вертикали, если грань горизонтальна), также должен быть больше или равен ему по размеру? Нет, здесь нужно быть внимательнее. Мы выбрали наименьший куб, касающийся грани . Но структура заполнения такова, что "карман", образованный вокруг наименьшего куба другими, более крупными кубами, требует заполнения оставшегося пространства.

Давайте уточним классическое доказательство для плоского случая (квадрат из квадратов) и перенесем логику в объем. В плоском случае: возьмем наименьший квадрат. Он не может лежать в углу, так как тогда два соседних с ним квадрата должны быть больше него, но тогда между ними образуется щель, которую должен заполнить еще меньший квадрат — противоречие. Если он не в углу, то аналогично образуются щели.

В трехмерном случае: рассмотрим наименьший куб C_min с ребром a, который касается выбранной грани F. Куб C_min имеет пять соседей (или частично соседей): четыре боковых и один верхний (если считать грань F нижней). 1. Все кубы, касающиеся боковых граней C_min и лежащие в слое, прилегающем к грани F, должны иметь ребра >a, так как C_min — наименьший в этом контакте с F. 2. Рассмотрим пространство непосредственно над кубом C_min. Оно должно быть занято каким-то кубом C_top. 3. Ключевой момент: если посмотреть на конфигурацию вокруг наименьшего элемента, то возникает необходимость заполнить угловые промежутки. В задаче о разложении прямоугольника на различные квадраты доказывается невозможность через бесконечный спуск. Аналогично для кубов: предположим, что такая упаковка существует. Возьмем наименьший куб во всей упаковке (не только касающийся грани, а вообще самый маленький из всех N кубов). Пусть его ребро x. Он со всех шести сторон окружен кубами с ребрами y_i>x. Эти окружающие кубы создают "ниши" или углы, которые невозможно заполнить кубами размера ≠x, не создавая новых промежутков, требующих заполнения кубами меньше x, либо оставляя незаполненное пространство. Более строгий подход: рассмотрим наименьший куб K₀. Он не может стоять на "полу" упаковки без поддержки снизу, если это не дно. Но даже если он на дне, его боковые соседи выше него. Над ним должен быть куб. Пространство между K₀ и его высокими боковыми соседями сверху создает геометрическую невозможность плотной упаковки различными кубами без появления нового наименьшего куба в зазоре, что ведет к бесконечному убыванию размеров, противоречащему конечности набора.

Проверка и вывод.

Логика опирается на свойство минимальности. Если бы существовал набор различных кубов, составляющих параллелепипед, то в нем обязательно был бы самый маленький куб. Окружение этого самого маленького куба большими кубами неизбежно оставляет пустоты или требует заполнения их кубами ещё меньшего размера (что невозможно, так как этот уже самый маленький) или равного размера (что запрещено условием попарной различности). Таким образом, предположение о возможности такой сборки приводит к противоречию.