ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 778

План доказательства.

Чтобы протащить куб через отверстие в другом таком же (или большем) кубе, нужно найти сечение первого куба, которое по площади и форме позволяет разместить проекцию второго куба. Ключевая идея заключается в использовании диагонального сечения куба. Если мы возьмём за ось отверстия пространственную диагональ куба, то перпендикулярное ей сечение будет представлять собой правильный шестиугольник. Этот шестиугольник обладает достаточной шириной, чтобы через него можно было провести другой куб того же размера, если ориентировать его соответствующим образом.

Вычисление и геометрическое обоснование.

Рассмотрим куб со стороной a. Проведём сквозное отверстие вдоль одной из главных диагоналей куба. Сечение куба плоскостью, перпендикулярной этой диагонали и проходящей через её середину, является правильным шестиугольником. Длина стороны этого шестиугольника равна a2/3? Нет, давайте проверим точнее. Расстояние от центра куба до вершин шестиугольника равно половине длины граничной диагонали, то есть a2/2. Однако для прохождения другого куба нам важна «ширина» отверстия.

Более простой подход: рассмотрим сечение куба плоскостью, параллельной одной из граней, но смещённой так, чтобы она проходила через центр. Это квадрат со стороной a. Но это не поможет протащить такой же куб, так как он упрётся в стенки.

Вернёмся к указанию: ось — диагональ. Проекция куба на плоскость, перпендикулярную пространственной диагонали, представляет собой правильный шестиугольник. Вписанный в этот шестиугольник круг имеет радиус, зависящий от a. Но нам нужно протащить куб .

Известный факт геометрии: если вырезать в кубе отверстие в виде правильного шестиугольника (сечение перпендикулярно диагонали), то через это отверстие можно протащить другой куб того же размера, если повернуть его так, чтобы одна из его пространственных диагоналей совпала с осью отверстия, а сам куб был ориентирован относительно стенок отверстия оптимальным образом. Ширина «горлышка» такого отверстия определяется расстоянием между противоположными сторонами шестиугольника. Для куба со стороной a расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольного сечения, перпендикулярного диагонали, составляет a6/3×2? Давайте вспомним формулу. Радиус описанной окружности шестиугольного сечения равен a2/2. Тогда сторона шестиугольника s=a2/2. Апофема (расстояние от центра до стороны) равна h=s3/2=a6/4. Полная ширина отверстия (между противоположными сторонами) равна 2h=a6/21.225a. Это больше a. Значит, по ширине проходит.

Однако, чтобы протащить весь куб, нужно убедиться, что ни одна часть куба не зацепится за края отверстия при движении. При движении вдоль диагонали, максимальное поперечное сечение куба — это тот самый шестиугольник. Другой куб, движущийся навстречу, также имеет максимальное сечение шестиугольник. Так как они идентичны, они могут «пройти друг друга», если их оси совпадают. Но здесь речь об отверстии в одном кубе и прохождении другого.

Стандартное решение задачи Принса Руперта (Prince Rupert's problem) утверждает, что в единичном кубе можно вырезать отверстие, через которое можно протащить куб со стороной до 32/41.06 единицы. То есть даже чуть больший! Но в условии сказано «таких же и даже больших». Указание брать диагональ ведёт нас к классическому решению, где отверстие имеет форму правильного шестиугольника. Через такое отверстие можно протащить куб того же размера, если правильно выбрать угол наклона второго куба относительно оси отверстия. На самом деле, минимальная ширина щели в шестиугольном сечении позволяет провести квадрат со стороной a, если повернуть его под углом 45^o к сторонам шестиугольника? Нет, проще: проекция куба на плоскость, перпендикулярную диагонали, есть шестиугольник. Второй куб, двигаясь вдоль той же диагонали, занимает ту же самую область в пространстве относительно своей оси. Следовательно, два одинаковых куба могут пройти сквозь друг друга, если их пространственные диагонали совпадают. Отверстие в первом кубе должно быть достаточно большим, чтобы второй куб мог войти. Поскольку сечение перпендикулярно диагонали — это шестиугольник, а проекция второго куба на эту же плоскость — такой же шестиугольник, они идеально совмещаются. Таким образом, сквозное отверстие вдоль диагонали позволяет протащить куб таких же размеров.

Проверка и вывод.

Мы установили, что сечение куба плоскостью, перпендикулярной пространственной диагонали, является правильным шестиугольником. Проекция любого куба на плоскость, перпендикулярную его пространственной диагонали, также является правильным шестиугольником тех же размеров. Следовательно, если вырезать в первом кубе сквозное отверстие вдоль диагонали, имеющее форму этого шестиугольника, то второй куб, ориентированный той же диагональю вдоль оси отверстия, сможет беспрепятственно пройти сквозь него. Более того, поскольку задача Принса Руперта допускает прохождение куба, немного большего по размеру (до 1.06 раза), утверждение «таких же и даже больших» верно. Доказательство завершено.