ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 773

План доказательства.

Для доказательства утверждения «тогда и только тогда» необходимо рассмотреть две части: прямую импликацию (если углы равны, то расстояния равны) и обратную (если расстояния равны, то углы равны). Введем обозначения: пусть α и β — грани двугранного угла с ребром l. Пусть прямая m пересекает грани в точках A и B соответственно. Углы между прямой m и гранями обозначим как ∠(m,α) и ∠(m,β). Расстояния от точек пересечения до ребра обозначим как d(A,l) и d(B,l).

Часть 1: Если углы равны, то точки равноудалены от ребра.

Проведем из точек A и B перпендикуляры к ребру l, опустив их на грани. Пусть A₁ — проекция точки A на ребро l, а B₁ — проекция точки B на ребро l. Тогда отрезки AA₁ и BB₁ являются расстояниями от точек до ребра, то есть AA₁=d(A,l) и BB₁=d(B,l). Рассмотрим треугольники △ABA₁ и △BAB₁? Нет, лучше использовать определение угла между прямой и плоскостью. Угол между прямой m и плоскостью α равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость. Однако более простой путь — использовать синусы углов. Пусть H_A и H_B — основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B на противоположные грани? Нет, условие говорит об углах с теми гранями, которые прямая пересекает. То есть угол между m и α — это угол между m и её проекцией на α. Но так как A лежит на α, проекция совпадает с самой прямой? Нет, прямая m проходит через A и B. Точка A лежит в плоскости α. Значит, угол между прямой AB и плоскостью α определяется через расстояние от другой точки прямой (B) до плоскости α. Обозначим h_B — расстояние от точки B до плоскости α. Тогда sin(∠(m,α))=h_B/AB. Аналогично, обозначим h_A — расстояние от точки A до плоскости β. Тогда sin(∠(m,β))=h_A/AB. Если ∠(m,α)=∠(m,β), то sin(∠(m,α))=sin(∠(m,β)), следовательно, h_A=h_B. Теперь свяжем расстояния до граней с расстояниями до ребра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром к грани и перпендикуляром к ребру. По теореме о трех перпендикулярах, если провести перпендикуляр BK к плоскости α (где K∈α), то проекция BK на плоскость, перпендикулярную ребру, связана с углом двугранного угла. Давайте воспользуемся методом координат или геометрическим построением, предложенным в подсказке. Проведем плоскость γ, перпендикулярную ребру l. Она пересекает грани по лучам a и b, образующим линейный угол двугранного угла φ. Ребро l перпендикулярно плоскости γ. Пусть прямая m пересекает плоскость γ в точке M. Точки A и B лежат на прямой m. Их проекции на плоскость γ будут лежать на прямой, проходящей через M? Это усложняет. Вернемся к классическому геометрическому доказательству. 1. Из точки A опустим перпендикуляр AC на грань β. Длина AC — расстояние от A до грани β. 2. Из точки B опустим перпендикуляр BD на грань α. Длина BD — расстояние от B до грани α. 3. Угол между прямой AB и гранью α: sinθ₁=BD/AB. 4. Угол между прямой AB и гранью β: sinθ₂=AC/AB. 5. Если θ₁=θ₂, то AC=BD. 6. Теперь нужно связать AC и BD с расстояниями до ребра. Пусть A′ — проекция A на ребро l, B′ — проекция B на ребро l. Нам нужно доказать, что AA′=BB′. Рассмотрим прямоугольные треугольники △AA′C? Нет, C лежит в β. A′ лежит на l. l является линией пересечения α и β. Проведем AK⊥l в плоскости α? Нет, A уже в α. Расстояние от A до l — это длина перпендикуляра, опущенного из A на l. Так как A∈α, этот перпендикуляр лежит в α. Обозначим его AA₁, где A₁∈l. Аналогично для B: BB₁⊥l, B₁∈l, BB₁⊂β. Рассмотрим треугольник △AA₁C. Здесь AC⊥β, значит AC⊥A₁C (так как A₁C лежит в β?). Не обязательно. A₁ лежит на l, которая принадлежит β. Значит, любой отрезок в β, исходящий из A₁, перпендикулярен AC. Следовательно, △AA₁C — прямоугольный с прямым углом при C? Нет, AC⊥β, поэтому AC⊥ любой прямой в β, проходящей через C. Но A₁ не обязательно совпадает с C. Давайте используем угол двугранного угла φ. В плоскости, перпендикулярной ребру l и проходящей через точку A₁, мы видим линейный угол φ. Отрезок AA₁ лежит в грани α и перпендикулярен ребру l. Расстояние от точки A до грани β можно найти из прямоугольного треугольника, образованного AA₁ и проекцией на β. Проведем A₁C⊥ грани β? Нет. Из точки A₁ в плоскости β проведем перпендикуляр к линии пересечения... Правильнее так: AC — перпендикуляр к β. AA₁ — перпендикуляр к l в α. По теореме о трех перпендикулярах, если AC⊥β, то проекция AC на плоскость, перпендикулярную l... Рассмотрим прямоугольный треугольник △ACA₁? Нет. Пусть H — проекция A на β. Тогда AH⊥β. Пусть K — проекция H на l. Тогда HK⊥l. Так как AH⊥β, то AH⊥l. Также HK⊥l. Значит, l⊥ плоскости AHK. Следовательно, AK⊥l. Но мы определили A₁ как основание перпендикуляра из A на l. Значит, A₁ совпадает с K. Таким образом, AA₁ — гипотенуза прямоугольного треугольника △AA₁H? Нет, AH⊥β, значит AH⊥HA₁ (так как HA₁ лежит в β). Значит, △AA₁H — прямоугольный с прямым углом при H. Угол ∠AA₁H равен линейному углу двугранного угла φ (или дополнению до него, в зависимости от ориентации, но синус тот же). Из этого треугольника: AH=AA₁·sinφ. Аналогично для точки B: пусть BB₁ — расстояние до ребра, BD — расстояние до грани α. Тогда BD=BB₁·sinφ. Мы установили ранее, что если углы наклона прямой к граням равны, то AH=BD (расстояния до граней равны). Подставим выражения: AA₁·sinφ=BB₁·sinφ Так как sinφ≠0 (двугранный угол не вырожден), то AA₁=BB₁ Что и требовалось доказать для первой части.

Часть 2: Если точки равноудалены от ребра, то углы равны.

Дано: AA₁=BB₁, где AA₁⊥l, BB₁⊥l. Надо доказать: ∠(m,α)=∠(m,β). Используем те же формулы для расстояний до граней: Расстояние от A до грани β: h_A=AA₁·sinφ. Расстояние от B до грани α: h_B=BB₁·sinφ. Так как AA₁=BB₁, то h_A=h_B. Синус угла между прямой AB и гранью α: sinθ₁=h_B/AB. Синус угла между прямой AB и гранью β: sinθ₂=h_A/AB. Поскольку h_A=h_B, то sinθ₁=sinθ₂. Углы между прямой и плоскостью лежат в диапазоне [0^°;90^°], где функция синус монотонна. Следовательно, θ₁=θ₂. Проверка и вывод. Мы доказали обе импликации. Логика опирается на связь между расстоянием до грани, расстоянием до ребра и синусом линейного угла двугранного угла. Ключевым моментом является то, что высота, опущенная из точки на грань, является катетом прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит перпендикуляр к ребру, а угол при вершине на ребре равен линейному углу двугранного угла. Равенство длин перпендикуляров к ребру влечет равенство высот до граней, что, в свою очередь, при общей длине отрезка секущей прямой, дает равенство синусов углов наклона.