ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 770: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства утверждения выразим площади треугольников AOB, ABC и O₁AB через длины рёбер тетраэдра OA=a, OB=b, OC=c. Используем тот факт, что плоские углы при вершине O прямые, чтобы применить теорему Пифагора для нахождения сторон основания ABC. Затем определим высоту опущенную из точки O на плоскость ABC (отрезок OO₁) и проекцию этой высоты на сторону AB для нахождения площади треугольника O₁AB. В конце проверим равенство S_AOB=S_ABC·S_O1AB.

Вычисления.

1. Площадь прямоугольного треугольника AOB равна:

2. Найдём стороны треугольника ABC. Так как углы при O прямые, то по теореме Пифагора:

3. Вычислим площадь треугольника ABC. Для этого можно использовать формулу Герона или векторный метод, но проще воспользоваться свойством ортоцентрической системы. Заметим, что точка O является ортоцентром треугольника ABC в пространстве? Нет, здесь удобнее найти высоту h_c треугольника ABC, опущенную на сторону AB. Однако, есть более прямой путь через объём тетраэдра или координаты.

Введём систему координат с началом в точке O: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Уравнение плоскости ABC имеет вид:

Расстояние от начала координат O до плоскости ABC равно длине перпендикуляра OO₁:

Площадь треугольника ABC можно найти через объём тетраэдра V=1/6abc и высоту h: V=1/3S_ABCh. Отсюда:

4. Теперь найдём площадь треугольника O₁AB. Треугольник O₁AB лежит в плоскости ABC. Его основание — сторона AB. Высота этого треугольника, проведённая к стороне AB, является проекцией отрезка OO₁ на плоскость, перпендикулярную AB? Нет, это расстояние от точки O₁ до прямой AB.

Рассмотрим треугольник AOB. Он лежит в плоскости z=0. Прямая AB задана уравнением x/a+y/b=1 в плоскости xy. Точка O₁ — проекция O на плоскость ABC. Пусть H — проекция точки O на прямую AB в плоскости AOB. Тогда OH — высота прямоугольного треугольника AOB к гипотенузе:

По теореме о трёх перпендикулярах, так как OO₁⊥(ABC) и OH⊥AB, то O₁H⊥AB. Следовательно, O₁H — это высота треугольника O₁AB, опущенная на сторону AB.

Найдём длину O₁H. Рассмотрим прямоугольный треугольник OO₁H (прямой угол при O₁, так как OO₁ перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC, проходящей через O₁, включая O₁H). По теореме Пифагора:

Подставим выражения:

Это вычисление громоздкое. Попробуем другой подход для S_O1AB.

Заметим, что S_O1AB — это проекция площади S_OAB на плоскость ABC? Нет, наоборот, S_OAB не является проекцией чего-либо на ABC напрямую таким образом. Однако, известно соотношение площадей: если плоскость P проходит через ребро AB, а O — точка вне её, то проекция O на эту плоскость... нет. Давайте используем векторное произведение или скалярное произведение нормалей. Нормаль к плоскости AOB (z=0) — вектор n₁=(0,0,1). Нормаль к плоскости ABC — вектор n₂=(bc,ac,ab). Косинус угла φ между плоскостями AOB и ABC равен модулю косинуса угла между нормалями: cosφ=|n₁·n₂|/|n₁||n₂|=ab/a^2b2+b^2c2+c^2a2

Площадь проекции треугольника AOB на плоскость ABC равна S_proj=S_AOB·cosφ. Но проекцией треугольника AOB на плоскость ABC является треугольник O₁AB? Да, потому что A и B лежат на линии пересечения плоскостей, а O проектируется в O₁. Следовательно:

5. Проверим среднее геометрическое площадей S_ABC и S_O1AB:

Сокращаем корень a^2b2+b^2c2+c^2a2 под знаком радикала:

Мы получили, что ab/2 совпадает с S_AOB.

Проверка и вывод.

Таким образом, мы доказали, что S_AOB=S_ABC·S_O1AB. Это означает, что площадь треугольника AOB действительно является средним геометрическим площадей треугольников ABC и O₁AB. Указание из учебника о том, что O₁ — точка пересечения высот треугольника ABC, верно для данного типа тетраэдра (прямоугольного), но в нашем решении оно использовалось неявно через свойства проекций и нормалей, что является более общим методом.