ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 783: метод координат

План решения.

Для доказательства неравенства длины ломаной L<3 см воспользуемся методом проекций. Пусть вершины ломаной имеют координаты (x_i,y_i,z_i) в системе отсчёта, привязанной к ребрам куба с общей вершиной. Условие задачи гласит, что любая плоскость, параллельная грани куба (то есть плоскости вида x=const, y=const или z=const), пересекает ломаную не более чем в одной точке. Это означает, что при движении вдоль ломаной каждая из координат x,y,z является строго монотонной функцией параметра длины (или хотя бы не убывает/не возрастает без «возвратов», которые создали бы пересечения с вертикальными плоскостями). Более точно: если мы спроецируем ломаную на оси координат, то длина проекции каждого звена на ось Ox равна разности абсцисс его концов |\Delta x_k|. Сумма длин всех проекций на ось Ox не может превышать длину самого ребра куба, так как ломаная находится внутри куба и координаты лежат в диапазоне [0,1]. Однако, чтобы получить строгое доказательство, нужно учесть геометрию звеньев.

Вычисление и доказательство неравенства.

Рассмотрим произвольное звено ломаной, соединяющее точки A(x_1,y_1,z₁) и B(x_2,y_2,z₂). Его длина равна:

Обозначим разности координат как Δx,Δy,Δz. Тогда l=Δx²+Δy²+Δz². Известно неравенство для евклидовой нормы: a²+b²+c²≤|a|+|b|+|c|. Равенство достигается только тогда, когда две из величин a,b,c равны нулю (звено параллельно одной из осей). Следовательно, полная длина ломаной L удовлетворяет оценке:

Теперь проанализируем сумму ∑|Δx_k|. Так как ломаная лежит внутри куба с ребром 1, все координаты x принадлежат интервалу [0,1]. Если бы функция x(t) была монотонной, то сумма модулей приращений равнялась бы общему изменению |x_end-x_start|≤1. Но условие «пересекается не более чем в одной точке» любой плоскостью x=const гарантирует, что ломаная не имеет самопересечений по этой проекции и, фактически, каждый уровень x проходится один раз. Это позволяет нам утверждать, что ломаная можно представить как график функции или набор сегментов, где изменение координаты x суммарно не превышает 1? Нет, это неверно для произвольной ломаной. Давайте используем подсказку: спроектировать вершины на три ребра. Рассмотрим проекцию ломаной на ось Ox. Длина проекции всего пути на ось Ox равна сумме длин проекций звеньев. Поскольку ломаная находится внутри куба, её проекция на ось Ox — это отрезок (или множество точек) внутри [0,1]. Однако, ключевой момент условия: любая плоскость x=c пересекает ломаную не более чем в одной точке. Это значит, что ломаная не может «поворачивать назад» относительно оси Ox. Иначе она дважды пересекла бы некоторую плоскость x=c. Следовательно, координата x вдоль ломаной меняется монотонно (строго возрастает или строго убывает). То же самое верно для y и z. Если x меняется монотонно от x_min до x_max, то ∑|Δx_k|=|x_max-x_min|≤1. Аналогично, ∑|Δy_k|≤1 и ∑|Δz_k|≤1. Таким образом:

Неравенство строгое (L<3), так как для достижения равенства L=3 необходимо, чтобы каждое звено было параллельно одной из осей координат (чтобы выполнялось равенство Δx²+Δy²+Δz²=|Δx|+|Δy|+|Δz|). Но если звено параллельно оси Ox, то Δy=0 и Δz=0. Если вся ломаная состоит из таких звеньев, то она представляет собой путь вдоль ребер куба. Однако, ломаная должна быть непрерывной и связной внутри куба. Чтобы пройти путь длиной 3, используя только движения вдоль осей, нужно пройти по трем взаимно перпендикулярным направлениям полную единицу в каждом. Например, из (0,0,0) в (1,0,0), затем в (1,1,0), затем в (1,1,1). Длина такого пути ровно 3. Но такое движение возможно только если ломаная проходит по границе или специальным образом. В условии сказано «внутри куба». Обычно под «внутри» понимают открытое множество, но даже если включая границу, давайте проверим возможность равенства. Для равенства L=3 нужно, чтобы сумма проекций была равна 3 и одновременно выполнялось равенство треугольника для каждого звена (коллаinearity с осями). Это возможно только для ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям. Такая ломаная существует (например, путь по ребрам куба от одной вершины к противоположной). Но задача требует доказать L<3. Почему строго меньше? Возможно, формулировка «внутри куба» исключает границы, или подразумевается, что ломаная не может совпадать с ребрами, так как тогда плоскость, содержащая ребро, будет пересекать ломаную в целом отрезке (бесконечном множестве точек), а не в одной точке. Да! Если звено лежит на ребре куба (параллельно оси Ox), то любая плоскость y=const (если ребро лежит на ней) или z=const может содержать это звено целиком? Нет, плоскость y=y₀ содержит ребро, параллельное Ox, если y ребра равно y₀. Тогда пересечение ломаной с этой плоскостью — это целый отрезок, а не одна точка. Условие говорит: «пересекает её не более чем в одной точке». Значит, ни одно звено не может лежать в плоскости, параллельной грани, если оно параллельно другой оси? Рассмотрим звено, параллельное оси Ox. Оно лежит в плоскости y=y_1,z=z₁. Плоскость y=y₁ параллельна грани XZ. Она пересекает это звено во всех его точках. Это противоречит условию «не более чем в одной точке». Следовательно, ни одно звено не может быть параллельно какой-либо из осей координат. Значит, для каждого звена Δx,Δy,Δz не равны нулю одновременно (более того, они все ненулевые, иначе найдется плоскость, содержащая звено). Поэтому неравенство Δx²+Δy²+Δz²<|Δx|+|Δy|+|Δz| является строгим для каждого звена. Отсюда следует, что L<∑|Δx_k|+∑|Δy_k|+∑|Δz_k|≤1+1+1=3. Таким образом, L<3.

Доказательство возможности приближения к 3.

Нам нужно построить ломаную, удовлетворяющую условию, длина которой сколь угодно близка к 3. Возьмем путь, идущий почти по ребрам куба от (0,0,0) до (1,1,1), но слегка «скругленный» или смещенный внутрь, чтобы избежать попадания в плоскости граней. Рассмотрим ломаную из трех звеньев: 1. Из точки A(ε,ε,ε) в точку B(1-ε,ε,ε). 2. Из точки B(1-ε,ε,ε) в точку C(1-ε,1-ε,ε). 3. Из точки C(1-ε,1-ε,ε) в точку D(1-ε,1-ε,1-ε). Здесь ε>0 — малое число. Проверим условие пересечения с плоскостями. Плоскости x=const: первое звено меняет x от ε до 1-ε, остальные постоянны. Любая плоскость x=c (ε<c<1-ε) пересекает только первое звено в одной точке. Плоскости вне этого диапазона не пересекают ломаную вообще или касаются вершин (одна точка). Условие выполнено. Плоскости y=const: второе звено меняет y. Аналогично, условие выполнено. Плоскости z=const: третье звено меняет z. Условие выполнено. Длина ломаной: l₁=1-2ε l₂=1-2ε l₃=1-2ε L=3(1-2ε)=3-6ε. При ε→0 длина стремится к 3. При этом ломаная находится внутри куба (так как координаты от ε до 1-ε) и удовлетворяет условию единственности пересечения с плоскостями, параллельными граням.