ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 785: степени

План доказательства. Чтобы доказать, что центры граней правильного додекаэдра образуют правильный икосаэдр, необходимо установить два факта: 1) все полученные точки равноудалены от центра додекаэдра (лежат на одной сфере); 2) расстояние между любыми двумя соседними центрами одинаково, а каждая вершина полученного многогранника является общей для пяти равных треугольников. Мы воспользуемся симметрией правильного додекаэдра.

Вычисление и геометрические рассуждения. Рассмотрим правильный додекаэдр с центром O. Он имеет 12 граней, каждая из которых — правильный пятиугольник. Обозначим центры этих граней как A_1,A_2,…,A₁₂. 1. Равноудаленность от центра. В силу высокой степени симметрии правильного додекаэдра, все его грани эквивалентны относительно группы вращений вокруг центра O. Это означает, что перпендикуляр, опущенный из центра O на любую грань, имеет одну и ту же длину h. Следовательно, все центры граней лежат на сфере радиуса h с центром в O. 2. Соседство граней и расстояния между центрами. Каждая грань додекаэдра граничит с пятью другими гранями по ребрам. Рассмотрим центр A_i некоторой грани и центры A_j пяти смежных с ней граней. Из-за симметрии додекаэдра, угол между векторами OA_i и OA_j для любой пары смежных граней один и тот же. Пусть этот угол равен α. Тогда расстояние между центрами смежных граней вычисляется по формуле: d=2hsin(α/2) Так как h и α постоянны для всех пар смежных граней, то все ребра будущего многогранника (отрезки, соединяющие центры смежных граней) равны между собой. 3. Структура вершин. В правильном додекаэдре в каждой вершине сходится три грани. Однако нас интересуют центры граней. Посмотрим на структуру окрестности одного центра грани A_i. Ему соответствуют 5 соседей A_j, так как у пятиугольной грани 5 сторон, и каждая сторона принадлежит другой грани. Таким образом, в вершине A_i нового многогранника сходится 5 ребер, идущих к центрам смежных граней. 4. Формы граней нового многогранника. Гранью нового многогранника будет треугольник, образованный центрами трех граней додекаэдра, которые имеют общую вершину. В правильном додекаэдре при каждой вершине сходятся три грани. Центры этих трех граней образуют треугольник. Так как все грани додекаэдра равны и расположены симметрично относительно вершины, то расстояния между центрами этих трех граней равны. Значит, каждая грань нового многогранника — правильный треугольник.

Проверка и вывод. Итак, мы построили выпуклый многогранник, имеющий: — 12 вершин (по числу граней додекаэдра); — 20 граней (по числу вершин додекаэдра, так как каждая вершина додекаэдра порождает одну грань-треугольник в новом теле); — 30 ребер (по числу ребер додекаэдра, так как каждое ребро додекаэдра соединяет две грани, центры которых становятся концами ребра нового тела). Все ребра равны, все грани — правильные треугольники, и в каждой вершине сходится по 5 таких треугольников. Это определение правильного икосаэдра. Следовательно, центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.