ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 789: векторы

План решения.

Для доказательства утверждения о параллелепипеде удобно использовать метод векторов. Обозначим три вектора, исходящие из одной вершины и задающие рёбра параллелепипеда, как a, b и c. Длина каждого ребра равна модулю соответствующего вектора: |a|, |b|, |c|. В параллелепипеде 12 рёбер, причём по 4 ребра каждой длины. Таким образом, сумма квадратов всех двенадцати рёбер равна 4|a|²+4|b|²+4|c|².

Вычисление.

Рассмотрим четыре диагонали параллелепипеда. Их можно выразить через линейные комбинации векторов a, b и c:

• d₁=a+b+c
• d₂=a+b-c
• d₃=a-b+c
• d₄=-a+b+c

Квадрат длины вектора равен скалярному квадрату этого вектора. Вычислим сумму квадратов длин диагоналей:

Раскроем каждый слагаемый, используя свойства скалярного произведения (x²=|x|² и (x±y)²=x²±2xy+y²):

1. |a+b+c|²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
2. |a+b-c|²=a²+b²+c²+2ab-2bc-2ac
3. |a-b+c|²=a²+b²+c²-2ab-2bc+2ac
4. |-a+b+c|²=a²+b²+c²-2ab+2bc-2ac

Здесь для краткости записано a²=|a|², b²=|b|², c²=|c|². Сложим эти четыре выражения. Заметим, что все смешанные члены (содержащие скалярные произведения ab, bc, ac) взаимно уничтожаются, так как в каждом из них они входят с разными знаками. Остаются только квадраты модулей векторов:

Проверка и вывод.

Мы получили, что сумма квадратов четырёх диагоналей равна 4|a|²+4|b|²+4|c|². Ранее мы установили, что сумма квадратов двенадцати рёбер также равна 4|a|²+4|b|²+4|c|² (так как есть 4 ребра длины a, 4 ребра длины b и 4 ребра длины c).

Следовательно, сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда действительно равна сумме квадратов двенадцати его рёбер. Утверждение доказано.