ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 791: векторы

Для решения задачи воспользуемся методом координат или векторным подходом. Нам нужно найти угол между лучом AC и лучом AE, где AE⊥ плоскости ABD. Это означает, что вектор AE является нормалью к плоскости, содержащей точки A,B,D.

Введем систему координат с началом в точке A. Пусть плоскость ABD совпадает с плоскостью xy. Так как AE⊥(ABD), направим ось z вдоль луча AE. Тогда координаты единичного вектора направления AE: e_AE=(0;0;1).

Разберем расположение лучей AB,AC,AD в плоскости xy. У нас есть углы: ∠BAD=45^°, ∠DAC=45^°, ∠BAC=60^°. Заметим, что сумма углов ∠BAD+∠DAC=45^°+45^°=90^°, а ∠BAC=60^°. Поскольку ∠BAC<∠BAD+∠DAC, луч AC не лежит «между» AB и AD так, чтобы покрывать весь угол BAD. Более того, из условия ∠BAD=∠DAC=45^° следует, что луч AD является биссектрисой угла BAC? Нет, это было бы верно, если бы ∠BAC=90^°. Здесь же ∠BAC=60^°. Давайте проанализируем взаимное расположение лучей точнее.

Рассмотрим два возможных случая расположения луча AC относительно угла BAD:

1. Случай 1: Луч AC лежит внутри угла BAD. Тогда ∠BAC+∠CAD=∠BAD. Подставим значения: 60^°+45^°=105^°≠45^°. Противоречие. Значит, этот случай невозможен.
2. Случай 2: Луч AB лежит внутри угла CAD. Тогда ∠CAB+∠BAD=∠CAD. Подставим: 60^°+45^°=105^°≠45^°. Противоречие.
3. Случай 3: Луч AD лежит внутри угла BAC. Тогда ∠BAD+∠DAC=∠BAC. Подставим: 45^°+45^°=90^°≠60^°. Противоречие.

Подождите, давайте перечитаем условие внимательно. ∠BAC=60^°, ∠BAD=45^°, ∠DAC=45^°. Сумма двух меньших углов (45+45=90) больше третьего (60). Это значит, что луч AC может лежать вне угла BAD, но тогда углы складываются иначе. Или луч AB лежит вне угла DAC. Или луч AD лежит вне угла BAC. Давайте зафиксируем направление луча AB за ось x. Тогда AB=(1;0;0). Луч AD составляет угол 45^° с AB. Координаты AD=(cos45^°;sin45^°;0)=(2/2;2/2;0). Теперь найдем положение луча AC. Он составляет угол 60^° с AB и угол 45^° с AD. Пусть AC=(cosα;sinα;0), так как все лучи AB,AC,AD исходят из одной точки и мы рассматриваем их проекцию на плоскость ABD? Нет, условие говорит, что AE перпендикулярен плоскости ABD. Это не значит, что C лежит в этой плоскости! В условии сказано: "Из точки A исходят четыре луча...". Обычно в таких задачах по стереометрии, если не сказано, что точки B,C,D лежат в одной плоскости, то они могут быть пространственными. Однако, углы заданы между лучами. Плоскость ABD определена лучами AB и AD. Луч AE перпендикулярен ей. Где находится луч AC? Если бы AC лежал в плоскости ABD, то мы бы имели дело с планиметрией. Проверим возможность этого. Если AC∈(ABD), то угол между AC и AB равен 60^°, а между AC и AD равен 45^°. При этом угол между AB и AD равен 45^°. В плоскости это возможно только если луч AD лежит между AB и AC (тогда ∠BAC=∠BAD+∠DAC=45+45=90≠60) или AB между AD и AC (∠DAC=∠DAB+∠BAC=45+60=105≠45) или AC между AB и AD (∠BAD=∠BAC+∠CAD=60+45=105≠45). Ни один вариант не подходит. Следовательно, луч AC не лежит в плоскости ABD . Это пространственная задача.

Итак, у нас есть три луча AB,AD,AE, образующие прямоугольную систему координат? Не совсем. AB и AD лежат в плоскости xy, угол между ними 45^°. AE — ось z. Найдем координаты вектора AC=(x;y;z), где x²+y²+z²=1. Условия: 1) ∠(AC,AB)=60^°⇒AC·AB=cos60^°=0.5. 2) ∠(AC,AD)=45^°⇒AC·AD=cos45^°=2/2. 3) Нужно найти ∠CAE, т.е. угол между AC и AE. Обозначим его φ. Тогда cosφ=AC·AE.

Выберем удобную систему координат. Пусть начало в A. Ось Ox направим вдоль биссектрисы угла BAD? Или проще: пусть AB лежит на оси X. AB=(1;0;0). Так как ∠BAD=45^°, то AD=(cos45^°;sin45^°;0)=(2/2;2/2;0). AE=(0;0;1) (так как AE⊥ABD). Пусть AC=(x;y;z). Из скалярных произведений: AC·AB=x·1+y·0+z·0=x=cos60^°=1/2. AC·AD=x2/2+y2/2+z·0=2/2(x+y)=cos45^°=2/2. Отсюда 2/2(x+y)=2/2⇒x+y=1. Так как x=1/2, то y=1-1/2=1/2. Теперь найдем z. Так как AC — единичный вектор, x²+y²+z²=1. (1/2)²+(1/2)²+z²=1 1/4+1/4+z²=1 1/2+z²=1⇒z²=1/2⇒z=±2/2.

Нас интересует угол CAE. Косинус этого угла равен скалярному произведению AC·AE. AC=(1/2;1/2;z) AE=(0;0;1) cos(∠CAE)=AC·AE=1/2·0+1/2·0+z·1=z. Так как z=±2/2, то cos(∠CAE)=±2/2.

Это дает два возможных значения для угла: 1) Если z=2/2, то cos(∠CAE)=2/2⇒∠CAE=45^°. 2) Если z=-2/2, то cos(∠CAE)=-2/2⇒∠CAE=135^°.

Оба варианта геометрически допустимы, так как луч AC может отклоняться от плоскости ABD в сторону луча AE или в противоположную сторону (относительно ориентации нормали, хотя сам угол между лучами всегда берется от 0 до 180).