ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 790: векторы

План решения. Для доказательства того, что луч выходит в направлении, противоположном входящему, удобно использовать векторный метод. Направим ось Oz вдоль ребра OC, ось Oy вдоль OB, а ось Ox вдоль OA. Поскольку все плоские углы при вершине O прямые, грани OAB, OBC и OCA лежат в координатных плоскостях xy, yz и xz соответственно. Вектор направления падающего луча обозначим как v=(v_x,v_y,v_z). При отражении от зеркальной поверхности компонента вектора скорости, перпендикулярная этой поверхности, меняет знак на противоположный, а параллельные компоненты сохраняются.

Вычисление. Рассмотрим последовательность отражений. Луч входит через основание ABC и попадает на одну из боковых граней. Допустим, он сначала отражается от грани OAB (плоскость z=0). При этом z-компонента вектора меняется на противоположную: v₁=(v_x,v_y,-v_z). Затем луч падает на следующую грань, например, OBC (плоскость x=0). Здесь меняет знак x-компонента: v₂=(-v_x,v_y,-v_z). Наконец, луч отражается от третьей грани OCA (плоскость y=0), где меняет знак y-компонента: v₃=(-v_x,-v_y,-v_z).

Проверка и вывод. Полученный вектор v₃=-(v_x,v_y,v_z)=-v является вектором, точно противоположным исходному направлению v. Это означает, что после трех отражений от взаимно перпендикулярных зеркальных граней тетраэдра направление луча разворачивается на 180^°. Таким образом, луч света выходит из тетраэдра в направлении, строго противоположном направлению его входа, независимо от порядка отражения граней (так как операции изменения знака компонент коммутируют).