ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 788: векторы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Сторона правильного треугольника ABC равна a. На сонаправленных лучах BD и CE, перпендикулярных к плоскости ABC, взяты точки D и E так, что BD=a/\sqrt{2}, CE=a\sqrt{2}. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями ABC и ADE.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Введём прямоугольную систему координат, совместив начало с центром или вершиной треугольника ABC для удобства вычислений. Пусть плоскость ABC совпадает с плоскостью xy, а лучи BD и CE направлены вдоль оси z.
- Найдём координаты точек A,D,E.
- Вычислим длины сторон треугольника ADE (или скалярные произведения векторов), чтобы доказать его прямоугольность.
- Определим угол между плоскостями ABC и ADE, используя нормали к этим плоскостям или геометрические построения.
Вычисления:
Пусть сторона правильного треугольника ABC равна a. Разместим точку B в начале координат (0;0;0). Так как △ABC правильный, то угол при вершине B равен 60°. Направим луч BC вдоль оси Ox. Тогда координаты вершин будут следующими:
B(0;0;0), C(a;0;0)Точка A имеет координаты:
xA=acos(60°)=a/2, yA=asin(60°)=a3/2, zA=0 A(a/2;a3/2;0)Лучи BD и CE перпендикулярны плоскости ABC и сонаправлены. Значит, они параллельны оси Oz. По условию BD=a/2 и CE=a2. Координаты точек D и E:
D(0;0;a/2), E(a;0;a2)Докажем, что △ADE прямоугольный. Найдём квадраты длин его сторон:
1. Сторона AD:
AD2=(a/2-0)2+(a3/2-0)2+(0-a/2)2=a2/4+3a2/4+a2/2=a2+a2/2=3a2/22. Сторона AE:
AE2=(a/2-a)2+(a3/2-0)2+(0-a2)2=(-a/2)2+3a2/4+2a2=a2/4+3a2/4+2a2=a2+2a2=3a23. Сторона DE:
DE2=(0-a)2+(0-0)2+(a/2-a2)2=a2+(a-2a/2)2=a2+(-a/2)2=a2+a2/2=3a2/2Проверим теорему Пифагора для треугольника ADE. Заметим, что AD2+DE2=3a2/2+3a2/2=3a2=AE2. Следовательно, треугольник ADE является прямоугольным с прямым углом при вершине D (∠ADE=90°).
Найдём угол между плоскостями ABC и ADE. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Нормаль к плоскости ABC — это вектор n1=(0;0;1) (ось Oz).
Найдём нормаль n2 к плоскости ADE. Для этого составим два вектора, лежащих в этой плоскости, например DA и DE:
DA=A-D=(a/2;a3/2;-a/2) DE=E-D=(a;0;a2-a/2)=(a;0;a/2)Векторное произведение n2=[DA,DE]:
n2=ijka/2a3/2-a/2a0a/2 n2x=a3/2·a/2-(-a/2)·0=a23/22 n2y=-(a/2·a/2-(-a/2)·a)=-(a2/22+a2/2)=-3a2/22 n2z=a/2·0-a3/2·a=-a23/2Упростим компоненты, вынеся общий множитель a2/22:
n2=a2/22(3;-3;-6)Для нахождения угла косинус не изменится от масштабирования, поэтому возьмём вектор v=(3;-3;-6) как направление нормали.
Косинус угла φ между нормалями n1=(0;0;1) и v:
cosφ=|n1·v|/|n1|·|v| n1·v=1·(-6)=-6implies|n1·v|=6 |n1|=1 |v|=(3)2+(-3)2+(-6)2=3+9+6=18=32 cosφ=6/32=3·2/32=3/3Таким образом, угол между плоскостями равен arccos(3/3).
Проверка:
Мы доказали, что сумма квадратов двух меньших сторон треугольника ADE равна квадрату наибольшей стороны, что подтверждает его прямоугольность. Расчёт нормали и косинуса угла выполнен корректно. Результат совпадает с ориентировочным ответом.
\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}
Задача решена методом координат. Доказательство прямоугольности треугольника ADE проведено через проверку теоремы Пифагора для найденных длин сторон. Угол между плоскостями найден через скалярное произведение нормалей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 788 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 788?
Краткий ответ: √33.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.