ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 784

План доказательства.

Объём тетраэдра ABCD можно вычислить по формуле V=1/6AB·CD·d·sinφ, где d — расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD, а φ — угол между ними. Однако более наглядный путь, предложенный в указании, заключается в анализе изменения высоты тетраэдра при перемещении одного из отрезков вдоль прямой, содержащей другой отрезок. Нам нужно показать, что если мы «скользим» отрезком CD вдоль прямой CD (или меняем его положение так, чтобы концы оставались на одной прямой с исходными), то объём не меняется, пока основания и высота относительно этих оснований остаются инвариантными или компенсируют друг друга.

Вычисление и логический вывод.

Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть мы фиксируем отрезок AB. Тогда треугольник ABC и треугольник ABD имеют общее основание AB. Объём тетраэдра можно представить как сумму или разность объёмов пирамид с основанием ABO (где O — точка пересечения проекций) и вершинами C и D, но проще использовать векторное произведение или смешанное произведение.

Используем геометрический подход: пусть прямая l₁ содержит отрезок AB, а прямая l₂ содержит отрезок CD. Эти прямые скрещиваются. Расстояние между ними h постоянно для данных прямых. Угол между прямыми θ также постоянен.

Формула объёма тетраэдра через два скрещивающихся ребра: V_ABCD=1/6|AB|·|CD|·h·sinθ Здесь |AB| и |CD| — длины отрезков, h — расстояние между прямыми, содержащими эти отрезки, θ — угол между этими прямыми.

Если отрезки AB и CD «скрещиваются», это означает, что они лежат на двух скрещивающихся прямых. При любом смещении отрезка CD вдоль прямой, его содержащей, длина |CD| не меняется, угол θ между прямыми не меняется, и расстояние h между прямыми не меняется. Аналогично для AB. Следовательно, все множители в правой части формулы являются инвариантами относительно положения отрезков на своих несущих прямых.

Проверка результата.

Представим частный случай. Пусть AB лежит на оси X, CD параллельна оси Y и находится на высоте z=h и расстоянии x=d от начала координат. Координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(d,h,z₁), D(d,h,z₂). Длина CD=|z₂-z₁|. Векторы AB=(a,0,0), AC=(d,h,z₁), AD=(d,h,z₂). Смешанное произведение (AB,AC,AD) равно определителю матрицы из этих векторов. Вычислив определитель, получим значение, зависящее только от a, h и разности z₂-z₁ (длины CD). Если мы сдвинем отрезок CD вверх или вниз по прямой (изменим z₁ и z₂ на одну и ту же величину), разность z₂-z₁ останется прежней, и объём не изменится. Это подтверждает общий вывод.