ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 786

План доказательства. Чтобы доказать, что центры граней правильного икосаэдра образуют правильный додекаэдр, необходимо показать два факта: 1) все полученные многоугольники (грани нового тела) являются правильными пятиугольниками; 2) в каждой вершине нового тела сходится одинаковое количество таких граней, и углы при вершинах равны. Мы воспользуемся методом симметрии и подсчётом элементов. Правильный икосаэдр имеет 20 треугольных граней, 30 рёбер и 12 вершин. Центр грани — это точка пересечения медиан (или высот) правильного треугольника.

Вычисление и геометрический анализ. Рассмотрим одну вершину исходного икосаэдра. В ней сходятся 5 треугольных граней. Центры этих пяти граней лежат на одной плоскости? Нет, они не компланарны относительно центра икосаэдра, но если мы соединим центры соседних граней, то получим новый многогранник. Давайте посмотрим на структуру связей. Каждое ребро икосаэра является общим для двух соседних треугольных граней. Если мы возьмём центры всех 20 граней и соединим отрезками те из них, которые принадлежат граням, имеющим общее ребро, то каждое такое соединение будет соответствовать одному ребру икосаэра. Таким образом, новое тело будет иметь 30 рёбер (так как у икосаэра 30 рёбер). Теперь определим форму граней нового тела. Возьмём произвольную вершину икосаэра. К ней примыкают 5 граней. Их центры образуют замкнутый контур из 5 точек. Поскольку икосаэдр правильный, все эти 5 треугольников равны и расположены симметрично вокруг вершины. Расстояния между центрами соседних граней равны (так как они соответствуют половинам диагоналей ромбов, образованных двумя соседними гранями, или просто по симметрии вращения на 72^°). Следовательно, этот контур — правильный пятиугольник. Так как каждая вершина икосаэра порождает один такой пятиугольник, а всего вершин 12, то новое тело имеет 12 граней. Итак, мы получили многогранник с 12 гранями, каждая из которых — правильный пятиугольник, и 30 рёбрами.

Проверка и вывод. Осталось проверить, является ли полученное тело правильным додекаэдром. По определению, правильный додекаэдр — это выпуклый многогранник, все грани которого являются правильными пятиугольниками, и в каждой вершине которого сходится три грани. В нашем случае: 1) Грани — правильные пятиугольники (доказано выше через симметрию вокруг вершин икосаэра). 2) Количество граней равно 12 (по числу вершин икосаэра). 3) Количество рёбер равно 30 (по числу рёбер икосаэра). 4) Проверим вершины нового тела. Вершина додекаэдра соответствует центру грани икосаэра? Нет, давайте уточним соответствие. Вершины нового тела — это центры граней икосаэра. Сколько рёбер выходит из одного центра грани? Центр грани связан с центрами трёх соседних граней (так как у треугольной грани три соседа, имеющих с ней общее ребро). Значит, в каждой вершине нового тела сходится 3 ребра. Так как все грани — правильные пятиугольники, то угол при вершине додекаэдра определяется тремя такими углами. Симметрия всей конструкции гарантирует, что все двугранные углы и все пространственные углы при вершинах равны. Таким образом, полученный многогранник удовлетворяет всем условиям определения правильного додекаэдра: он имеет 12 граней-пятиугольников, 30 рёбер и 20 вершин (так как число вершин додекаэра равно числу граней икосаэра, то есть 20). Следовательно, центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.